【图论-最短路】洛谷官方题单刷题总结
图论
图在线生成器
图论题目，数据量是选择算法的重要依据。
一、图的存储
不同问题使用的存储方式不同，比如区分有向图和无向图，顶点数是否多，图是否稠密等。
邻接矩阵
二维数组保存图 ，行数i与列数j是否有通路、权值大小。
int graph[NUM][NUM];
//初始化
//有向图
//无向图
适用于顶点数较少，稠密图
邻接表
1.数组模拟
#include2.vector模拟
//无权值
vector<int>e[NUM]//只需保存和一个点直接相连的集合，例
e[x].push_back(y);
e[y].push_back(x);//无向图还需记录相反边
//有权值，需要定义结构体记录权值
struct edge{
int from,to,w;//from起点，to终点,w权值
//from可以省略
};
vector<edge>e[NUM];
e[x].push_back(edge{x,y,w});
二、图的遍历和连通性
根据存储方式不同遍历方式也不同，就是搜索DFS、BFS。
可以使用dfs()判断连通性。并查集可以做到动态判断（不断添加边）连通性，在最小生成树kruskal()算法中，判断连通性用到的就是并查集。
三、拓扑排序
对于任意一个顶点的序列，如果所有有向边i必在j前面,满足这样的序列称为拓扑序。
入度为0的为起点，出度为0才有可能是终点。
算法实现
从入度为0的顶点x开始，消去以x为起点的所有边(，如果消去这些边后，有些顶点y入度为0，那么将y加入入度为0的集合中。
重复此操作直到所有顶点入度均为0，否则不存在拓扑序（可能是有回路）。
需要借助队列来确保生成的是拓扑序。
#include洛谷-最大食物链计数
拓扑排序模板题，增加一个计数数组，也算是线性DP。
洛谷最长路径
#include
dp[y]=max(dp[y],dp[x]+w);
in[y]--;
if(!in[y]) q.push(y);
}
//for(int i=1;i<=n;i++) cout<
//cout<
}
if(dp[n]!=0xcfcfcfcf) cout<<dp[n];
else cout<<-1;
}
USACO Cow Contest S
Floyd(任意两点连通性计算祖先个数)+拓扑排序
#include d[i][j]=1 g数组保存邻接矩阵
int pre[310];//记录祖先数目
int in[310];//入度
queue<int>q;
void floyd(){//floyd计算所有可连通路径
for(int k=1;k<=n;k++){
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=n;j++){
d[i][j]|=d[i][k]&d[k][j];
}
}
}
}
void getParent(){//计算祖先数
floyd();
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=n;j++){
if(d[j][i]) pre[i]++;
}
}
}
int main()
{
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=m;i++){
cin>>x>>y;
g[x][y]=1;d[x][y]=1;
in[y]++;
}
getParent();
for(int i=1;i<=n;i++) if(in[i]==0) q.push(i);
int deletenum=0,ans=0;
while(!q.empty()){
int x=q.front();q.pop();
if(q.empty()&&pre[x]==deletenum) ans++;
for(int i=1;i<=n;i++){
if(g[x][i]){
in[i]--;
if(!in[i]) q.push(i);
}
}
deletenum++;
}
cout<<ans<<endl;
}
四、最短路
Dijkstra算法
Dijkstra算法是基于贪心思想，所以不能处理有负数边的最短路。因为当前最优并非全局最优，当前可能被其他顶点通过一个负数边更新，在此之前做的贪心工作是不是最优的。
同时Dijkstra也不能求解最长路，贪心的局部最优并不能达到整体最优。
以邻接链表存储，不带堆优化的Dijkstra算法实现。
AcWing-Dijkstra求最短路
貌似该题被活动覆盖了，不能做了。
#include算法需要进行 n-1 次更新，每次更新都需要寻找未被访问且最小的结点x，
dist[y]=min(dist[x][y],dist[x]+val[x][y])
一次时间复杂度为O(N)，既然是寻找最小的结点，可以使用堆来优化寻找减低复杂度至O(longN)。
单源最短路模板题
这个题70%数据不需要堆优化，其他数据需要堆优化解决。
也可以试试这一道单元最短路模板-标准版
#include 那么x一定比y前出堆。
v[x]=1;
for(int i=head[x];i;i=next_[i]){
y=ver[i];val=edge[i];
if(d[y]>d[x]+val){
d[y]=d[x]+val;
q.push(make_pair(-d[y],y));
}
}
}
}
int main()
{
cin>>n>>m>>z;
for(int i=1;i<=m;i++){
cin>>x>>y>>val;
add(x,y,val);
}
dijkstra(z);
for(int k=1;k<=n;k++) cout<<d[k]<<' ';
}
洛谷最短路计数
这道题是dijkstra算法的变形。
Bellman-Ford算法（SPFA算法）
在Dijkstra，图中所有边dist[x]+z>=dist[y]。那么整张图就不需要再更新。
算法流程
建立队列，开始只有起点start入队。
取队首元素x，扫描x所有边，边
dist[x]+zy 不在队列中将y入队。重复此过程直到队列中全部为空。
与dijkstra不同的，暴力扫描而不是贪心求解，这样一来就有了更多的更新机会，而且权值为负数的情况仍能保证结果正确。实现不同的是仅标记队列顶点（防止重复冗余入队），不标记扫描过的结点。
void spfa(int x){
for(int i=1;i<=n;i++) d[i]=MAX;
d[x]=0;
q.push(make_pair(0,x));
while(!q.empty()){
x=q.top().second;q.pop();
v[x]=0;
for(int i=head[x];i;i=next_[i]){
y=ver[i],z=edge[i];
if(d[y]>d[x]+z){
d[y]=d[x]+z;
if(!v[y]){
q.push(make_pair(-d[y],y));
v[y]=1;
}
}
}
}
}
数据量大使用vector建立邻接链表可能超时。
Floyd算法
Floyd 算法本质是动态规划，动态转移方程
D[i,j]=min(D[i][k],D[k][j])，不断通过连接中间结点来计算最短路。在下图中，1 与 5 之间最短路的中间结点有 { 2，4，3 }，如果连接两个端点可以：
通过结点 2 连接 1，4;通过结点 4 连接 1，3; 通过结点 3 连接 1，5;
也可以：通过结点 2 连接 1，4;通过结点 3 连接 4，5; 通过结点 4 连接 1，5;
可以顺序依次借助 1~n 这 n 个结点来连接最短路，这个循环可以理解为最外层的阶段，然后枚举要连接的两个结点。
一定要理解阶段（ k )与附加状态（ i , j ），理解之后代码实现比较简单。
void floyd(){
for(int k=1;k<=n;k++){
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=n;j++){
d[i][j]=min(d[i][k]+d[k][j],d[i][j]);
}
}
}
}
洛谷模板题邮递员送信
题目描述
邮递员从点1出发，去其他n-1个点送快递，每次只能送一个件，然后回到点1。问送完n-1个件最少花费是多少。
题目思路
题目实际上是要求 d[1~2]+d[2~1]+……+d[1~n]+d[n~1]。用floyd跑一遍，求和。
这道题数据量比较大，用floyd可以通过前四个点。
#include反向建图
AC 做法，正向建图 可以计算出1到其他所有点的距离，反向建图可以求出其他所有点到点1的距离。
#include通过Floyd算法还可以实现二元关系传递闭包。
六、欧拉路
俗称一笔画问题，如果存在从顶点S到顶点T，不重不漏的经过每一个边一次，这个路径称为S到T的欧拉路。
如果出发点S，终点也为S，就是从任意点出发经过不重不漏地经过所有边，则称该路径为欧拉回路，有欧拉回路的图称为欧拉图。
欧拉图判定
无向图连通，并且每个点度数都是偶数。通过边EA进入一个点就能从该点经边EB再出发，同时不要忘记欧拉路性质需要经过所有的边。
欧拉路判定
仅当无向图连通，并且欧拉路的起点和终点度数为奇数其余全部为偶数。
算法实现
深度优先搜索，标记边的同时，遍历未搜索边。有为如果数据量过大，需要模拟栈实现。
#include看牛
因为图的无向边被当做两条有向边存储，比如欧拉回路，搜索遍历到边head[x] 不会再被遍历到，此时我们需要标记逆向有向边head[x]消去边。
洛谷模板欧拉路径
判定欧拉路，S到T欧拉路要么所有结点入度等于出度，要么仅起点出度大于入度1，中间结点入度等于出度，终点入度大于出度1。
因为输出最小字典序，所以用vector存储然后排序来保证先遍历到字典序小的边。
其他未学到的算法
树上问题（树的直径、最近公共祖先）、SAT问题、最大流（残留网络、增广路）、最小割、最小费用最大流、二分图匹配