十八世纪的常微分方程（二）

一阶常微分方程

惠更斯1693年明确提到微分方程，莱布尼茨称微分方程是特征三角形的边的函数，我们现在所认为的常微分，即由给定函数及其导数中消除任意常数后得到微分方程，是1740年Alexis Fontaine des Bertins提出的。

1690年詹姆斯伯努利研究等时问题：求一条曲线，当摆沿着曲线振动时，不管经历的弧长大小，摆做一次振动的用时都相等（这条曲线就是摆线）。莱布尼茨给出了一个分析解，而伯努利通过微分等式得出了曲线方程。同年他提问：一根柔软而定长的弦自由悬挂于两固定点，求弦形成的曲线。早在15世纪达芬奇也有此问，伽利略猜想是抛物线，惠更斯否认了这一猜测，因为除非弦的重量及载荷按水平方向计算是均匀的，曲线才是抛物线，而这个问题里重量沿曲线方向均匀。

次年约翰伯努利用微分方程dy/dx=s/c推导出结果，其中s是最低点到弦上任意点的弧长，c是弦在单位长度的重量，这个方法也是现代微积分和力学课本中采用的方法，结果记为，因为解决了哥哥的提问，他很得意，1718年在给Montmort（1678-1719）的信中炫耀自己比哥哥聪明（朋友，这都27年了还念念不忘，而且对方都快去世了还要听你炫耀，什么仇什么怨啊！）

1691-1692年，伯努利兄弟解决了很多绳子形状问题，约翰还解决了逆问题：已知非弹性细绳形状的曲线方程，求绳子密度相对于弧长的变化规律，在力学教科书里抢占了一席之地。哥哥也没闲着，证明了给定绳长和固定点，所有形状的绳子里，悬链线的重心最低；此外推导了跟踪曲线的方程。

1691年莱布尼茨想到了常微分方程的分离变量法，把形如ydx/dy=f(x)g(y)的方程改写为dx/f(x)=g(y)dy/y就能在两边积分，但他没建立一般方法。同年他对一阶齐次方程y'=f(y/x)求解，1694年约翰伯努利对变量分离和齐次方程做了更完整的说明。1695年詹姆斯提出求解一个方程（现在叫伯努利方程），次年他通过分离变量解出，莱布尼茨通过变量替换把方程化成线性方程，给了另一种解法。

1694年莱布尼茨和詹姆斯伯努利引入了找等交曲线或曲线族的问题：找一曲线或曲线族与已知曲线相交于给定角度。他们解出了一些特例，暂时搁置了问题，直到1715年莱布尼茨向牛顿挑战：找出求一已知曲线族的正交轨线的一般方法（很怀疑莱布尼茨想到头秃终于想到咋做了，兴冲冲提问）牛顿利用睡前时间得到了答案，还指明了如何求与已知曲线族相交成定角或相交角随族中曲线规律变化的曲线。詹姆斯的学生Jacob Hermann给出了正交轨线的常微分方程，把莱布尼茨的方法阐释得更为明确。

当时人们已认识了一阶恰当方程。1739年克莱罗给出了恰当方程的条件（1734年欧拉也给出了），如果是恰当方程就可以积分，如果方程不恰当，往往可以乘以一个量（积分因子）转化为恰当方程。欧拉确立了能转为恰当方程的方程类属，克莱罗引入了积分因子概念，完善了理论。