【ACM】算法题-最少硬币问题 (c++)(动态规划)（多重背包问题）

最少硬币问题

题目

设有 n 种不同面值的硬币，各硬币的面值存于数组 T[1:n]中。现要用这些面值的硬币来找钱。可以使用的各种面值的硬币个数存于数组 Coins[1:n]中。对任意钱数 0≤m≤20001，设计一个用最少硬币找钱 m 的方法。

算法设计：

对于给定的 1≤n≤10，硬币面值数组 T 和可以使用的各种面值的硬币个数数组 Coins，以及钱数 m，0≤m≤20001，计算找钱 m 的最少硬币数。

输入

第一行中只有 1 个整数给出n 的值,第 2 行起每行 2 个数，分别是 T[j]和 Coins[j]。最后 1 行是要找的钱数 m。

输出

将计算出的最少硬币数输出. 如果不能满足所需要求输出-1

样例输入[复制](javascript:CopyToClipboard($(‘#sampleinput’).text()))

3
1 3
2 3
5 3
18

样例输出[复制](javascript:CopyToClipboard($(‘#sampleoutput’).text()))

5

解析

这是一道难度三级的动态规划经典例题，实现动态规划要考虑三个方面，

第一是最优化原理;

第二是无后效性（即某阶段状态一旦确定，就不受这个状态以后决策的影响。也就是说，某状态以后的过程不会影响以前的状态，只与当前状态有关）;

第三是有重叠子问题(即子问题之间是不独立的，一个子问题在下一阶段决策中可能被多次使用到（该性质并不是动态规划适用的必要条件，但是如果没有这条性质，动态规划算法同其他算法相比就不具备优势）)。

使用一维数组来存储结果dp[20002]，循环中注意边界

动态迁移方程为

dp[k] = min(dp[k - T[i]] + 1, dp[k])

代码流程

#include 

using namespace std;

int main() {
    int n, m, dp[20002];
    cin >> n;
    int T[n + 1], Coins[n + 1];
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        cin >> T[i] >> Coins[i];
    cin >> m;//成功输入硬币种类，分别的面值与数量及最后找钱m
    for (int i = 1; i < 20002; i++)
        dp[i] = 1000000;//一维数组存储结果初定义
    dp[0] = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++)//面值种类
        for (int j = 1; j <= Coins[i]; j++)//面值数量
            for (int k = m; k >= T[i]; k--)
                dp[k] = min(dp[k - T[i]] + 1, dp[k]);//核心（先找面值大的硬币，）

    cout << (dp[m] < 1000000 ? dp[m] : -1) << endl;//问题无解输出-1
    return 0;
}

复杂度分析

时间复杂度（nl）

空间复杂度（l）

总结

设计动态规划第一步就是要刻画好最优子结构，以自底向上从子问题的最优解构造出整个问题的最优解。