高中奥数 2021-07-07

2021-07-07-01

（本题来源：数学奥林匹克小丛书第二版集合刘诗雄极端原理 P82 例4）

已知是实数,和均是正整数,令

求证:在中必存在两个数、,使成立.

分析

要证明存在使成立,自然要在中取最大者来做.同样的,对于存在、使的证明,应取中最大者.

证明

$\begin{aligned} &\vert a-b\vert\\=&\left\vert a-\dfrac{b_{1}x_{1}+b_{2}x_{2}+\cdots+b_{n}x_{n}}{b_{1}+b_{2}+\cdots+b_{n}}\right\vert\\=&\dfrac{\vert b_{1}(a-x_{1})+b_{2}(a-x_{2})+\cdots+b_{n}(a-x_{n})\vert}{b_{1}+b_{2}+\cdots+b_{n}}\\\leqslant &\dfrac{ b_{1}\vert a-x_{1}\vert+b_{2}\vert a-x_{2}\vert+\cdots+b_{n}\vert a-x_{n}\vert }{b_{1}+b_{2}+\cdots+b_{n}} \end{aligned}$

在中必有一个最大者,设为.则有

$\begin{aligned} \vert a-b\vert&\leqslant \dfrac{ b_{1}\vert a-x_{i}\vert+b_{2}\vert a-x_{i}\vert+\cdots+b_{n}\vert a-x_{n}\vert }{b_{1}+b_{2}+\cdots+b_{i}}&\\&=\dfrac{(b_1+b_2+\cdots+b_n)\vert a-x_i\vert}{b_{1}+b_{2}+\cdots+b_{n}}&\\&=\vert a-x_i\vert& \end{aligned}$

下面再计算.

$\begin{aligned} \vert a-x_i\vert&=\left\vert \dfrac{a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots+a_{n}x_{n}}{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}-x_i\right\vert&\\&=\dfrac{\left\vert a_{1}(x_{1}-x_i)+a_{2}(x_{2}-x_i)+\cdots+a_{n}(x_{n}-x_i)\right\vert}{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}&\\&\leqslant\dfrac{a_{1}\vert x_{1}-x_i\vert +a_{2}\vert x_{2}-x_i\vert +\cdots+a_{n}\vert x_{n}-x_i\vert }{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}& \end{aligned}$

在中必有最大者,设为.则

$\begin{aligned} \vert a-x_i\vert &\leqslant\dfrac{a_{1}\vert x_{j}-x_i\vert +a_{2}\vert x_{j}-x_i\vert +\cdots+a_{n}\vert x_{j}-x_i\vert }{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}&\\&=\dfrac{(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n})\vert x_{j}-x_i\vert}{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}&\\&=\vert x_i-x_j\vert& \end{aligned}$

于是,存在、,使成立.

2021-07-07-02

（本题来源：数学奥林匹克小丛书第二版集合刘诗雄极端原理 P83 例5）

求方程的整数解。

分析

本例可以运用无穷递降法来解.设是方程的一组解,且其中是所有解中取最小正整数者,我们就让“无穷递降”的过程从此开始,看看后面会出现什么情况.

解

显然，方程有解.

我们证明这是方程的惟一一组整数解.

若是方程的解,则必是方程的解.故不妨设是方程的所有解中取最小正整数者.易知,为偶数.设,,则有

因而是偶数.设,则有

因而是偶数.设,,则有

由(*)知,也是方程的解.但,这与的取法矛盾.所以,方程有惟一解.

2021-07-07-02

（本题来源：数学奥林匹克小丛书第二版集合刘诗雄极端原理 P84 例6）

已知正整数和使得整除,求证是某个正整数的平方.

证明

令.本题的结论是:对所有,都有

记.我们只需证明B.

若,则不妨设中使最小的正整数对为.令

则有.

把()看作是关于的二次方程,显然是方程()的一个根,设为(**)的另一根,则由韦达定理有

由(***)知是整数,由(****)知.

若,则由,知

由是(**)的根得

于是.出现矛盾.

因而.由(****)知

所以.由(*****)得

于是或.但此时

与的选择即最小矛盾.

所以,从而命题得证.

另证

当时,有正整数,使得,即.

显然,,此时结论成立.

由对称性,不妨设.

设与是满足下列条件的整数:

(*).

将(*)代入得

考察这个数与的差

$\begin{aligned}&\dfrac{2s^{2}-2bst+t^{2}+b^{2}}{b^{2}s-bt+1}-\left(s-1\right)\\=&\dfrac{b^{2}s-bst+b^{2}+t^{2}-s-bt+1}{b\left(bs-t\right)+1}\\=&\dfrac{s\left(b^{2}-bt-1\right)+b\left(b-t\right)+t^{2}+1}{b\left(bs-t\right)+1}\end{aligned} (**)$

因为,所以,从而

于是(**)式大于0,即

同理

由于是整数,所以由(***)、(****)可得

由此得

即

因为,所以时,为平方数;若,可仿此继续下去,经过有限步之后,总可以使最小的数变为,所以是平方数,是是某个正整数的平方.

高中奥数 2021-07-07

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