数据结构——B树和B+树

平衡二叉树或红黑树的查找效率最高，时间复杂度是O(nlogn)。但不适合用来做数据库的索引树。

因为磁盘和内存读写速度有明显的差距，磁盘中存储的数据需要先读取到内存中才能进行高速的检索。而数据库当中存储着海量的数据，光是数据库索引就有可能占据几个GB甚至更大的空间。当我们要查找数据的时候，显然不可能把整个索引树读到内存中。因此，我们只能以索引树的节点为基本单元，每次把单一节点从磁盘读取到内存当中，进行后续操作。

如果磁盘当中的索引树是一棵平衡二叉树，查找的时候，在最坏情况下，磁盘I/O的次数等于索引树的高度。

为了减少磁盘I/O，我们需要把原本“瘦高”的树结构变得“矮胖”，让每一个节点承载更多的元素，拥有更多的孩子。

B树和B+树，就是这样的数据结构，因此它们非常适合做数据库和文件系统的索引。

一、B树

1.B树的特征

B树也被称为B-树（中间的横线是一个连接符，不是“B减树”！）

B树单一节点拥有的最多子节点数量，称为B树的“阶”。一个m阶的B树，具有如下几个特征：

1. 根节点至少有两个子节点。
2. 每个中间节点都包含k-1个元素（也被称为关键字）和k个孩子，其中m/2 <= k <= m。
3. 每一个叶子节点都包含k-1个元素，其中m/2 <= k <= m。
4. 所有的叶子节点都位于同一层。
5. 每个节点中的元素从小到大排列，节点当中k-1个元素正好是k个孩子包含的元素的值域分划。

如图是一个3阶的B树：

B树的查找过程（以上图中查找5为例）：

B树查询中的比较次数其实不比平衡二叉树少，但是节点内部元素的比较是在内存中进行的，时间成本几乎可以忽略。真正影响性能的，是磁盘I/O的次数，只要树的高度降低，磁盘I/O次数就会相应减少，从而提高整体性能。

2.B树的插入操作

B树的插入操作，首先是在叶子节点进行的，可以分成两种情况：

1）插入元素未改变规则，即叶子节点元素数量不超过m-1

未改变规则，就不用做任何调整。

2）插入元素使叶子节点元素过多，超过m-1个元素

新插入的元素4使相应的叶子节点元素超过2个，打破了3阶B树的规则。于是，需要进行节点的“分裂”，把节点m/2位置的元素上升到父节点，剩余的左半边元素和右半边元素分成两个独立的叶子节点：

此时，父节点（2,4,6）的元素同样超过了2个，我们继续对父节点
进行分裂，元素4上升到祖父节点：

这一次并没有打破B树的规则，插入调整完毕。

3.B树的删除操作

分为4种情况：

1）删除元素在叶子节点，未改变规则

没有打破B树的规则，因此不用做任何调整。

2）删除元素在叶子节点，剩余元素不足，相邻兄弟节点有多余元素

如图所示，删除叶子节点的元素8之后，该节点少于1个元素。此时可以向左侧兄弟节点“借调”一个元素过来。但元素5不能直接放到元素8的位置，需要上升到父节点当中，再把元素5和8之间的元素6移动到元素8的位置：

3）删除元素在叶子节点，剩余元素不足，相邻兄弟节点没有多余元素

如上图所示，删除叶子节点的元素3之后，该节点少于1个元素，左右兄弟也没有多余的节点可以借调。此时我们可以把相邻叶子节点“合并”。删除的元素3和右侧相邻节点的元素8之间是元素6，我们可以把元素6和8合并成一个叶子节点：

4）删除元素在中间节点

如上图所示，删除的是中间节点的元素12，我们可以选择该元素的前驱或后继元素来顶替它的位置。在本例中，选择后继元素13更合适：

4.B树的缺点

B树不方便进行范围查询。

数据库的查询，不止涉及单一结果查询（比如查找学号是110235的学生），也会涉及一个区间内结果的查询（比如查找数学成绩60～80分的所有学生）。
对于前者，B树很容易实现，对于后者，由于区间内结果分布在各个层次的节
点当中，B树实现起来会非常烦琐，需要进行中序遍历，在父节点和子节点之间不断切换，给磁盘I/O带来很多负担。

二、B+树

B+树是B树的升级，它的结构设计为范围查询提供了便利。

B+树的特征

一个m阶的B+树具有如下几个特征：

1. 有k个子树的中间节点包含k个元素（B树中是k-1个元素），每个元素不保存数据，所有数据都保存在叶子节点。
2. 所有的叶子节点包含了全部元素，依照元素的大小升序排列，叶子节点之间用双向指针相连接。
3. 所有中间节点的元素都同时存在于子节点，在子节点元素中是最大（或最小）元素。

如上图是一颗B+树，每一个父节点的元素都出现在子节点中，是子节点的最大（或最小）元素。父节点的所有元素都出现在子节点，因此叶子节点包含了整棵树的全量信息。并且每一个叶子节点都带有指向相邻叶子节点的指针，形成了一个双向有序链表。

B+树的设计，让我们可以很方便地进行范围查询。

要查找区间范围内的元素时，首先自顶向下，查找区间的最小值所在的叶子节点，再通过链表指针，遍历到相邻叶子节点，直到在叶子节点中找到区间最大值，这样就成功找出了区间内的所有元素。