LeetCode算法小抄-- 最近公共祖先 和 完全二叉树的节点个数

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最近公共祖先

Git 是如何找到两条不同分支的最近公共祖先（Lowest Common Ancestor，简称 LCA）的呢？这是一个经典的算法问题

Git 是如何合并两条分支并检测冲突的呢？

以 rebase 命令为例，比如下图的情况，我站在 dev 分支执行 git rebase master，然后 dev 就会接到 master 分支之上：

这个过程中，Git 是这么做的：

首先，找到这两条分支的最近公共祖先LCA，然后从master节点开始，重演LCA到dev的commit的修改，如果这些修改和LCA到master的commit有冲突，就会提示你手动解决冲突，最后的结果就是把dev的分支完全接到master上面。

236. 二叉树的最近公共祖先

给定一个二叉树, 找到该树中两个指定节点的最近公共祖先。

百度百科中最近公共祖先的定义为：“对于有根树 T 的两个节点 p、q，最近公共祖先表示为一个节点 x，满足 x 是 p、q 的祖先且 x 的深度尽可能大（一个节点也可以是它自己的祖先）。”

如果一个节点能够在它的左右子树中分别找到p和q，则该节点为LCA节点

class Solution {
    public TreeNode lowestCommonAncestor(TreeNode root, TreeNode p, TreeNode q) {
        return find(root, p.val, q.val);
    }

    // 在二叉树中寻找 val1 和 val2 的最近公共祖先节点   
    private TreeNode find(TreeNode root, int val1, int val2){
        if(root == null) return null;

        // 前序位置
        if(root.val == val1 || root.val == val2){
            // 如果遇到目标值，直接返回
            return root;
        }

        TreeNode left = find(root.left, val1, val2);
        TreeNode right = find(root.right, val1, val2);
        // 后序位置，已经知道左右子树是否存在目标值
        if(left != null && right != null){
            return root;
        }

        return left != null ? left : right;
    }
}

235. 二叉搜索树的最近公共祖先

给定一个二叉搜索树, 找到该树中两个指定节点的最近公共祖先。

百度百科中最近公共祖先的定义为：“对于有根树 T 的两个结点 p、q，最近公共祖先表示为一个结点 x，满足 x 是 p、q 的祖先且 x 的深度尽可能大（一个节点也可以是它自己的祖先）。”

例如，给定如下二叉搜索树: root = [6,2,8,0,4,7,9,null,null,3,5]

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-Mwos0c4s-1681899253749)(E:/typora/binarysearchtree_improved.png)]

输入: root = [6,2,8,0,4,7,9,null,null,3,5], p = 2, q = 8
输出: 6 
解释: 节点 2 和节点 8 的最近公共祖先是 6。

但对于 BST 来说，根本不需要老老实实去遍历子树，由于 BST 左小右大的性质，将当前节点的值与val1和val2作对比即可判断当前节点是不是LCA：

假设val1 < val2，那么val1 <= root.val <= val2则说明当前节点就是LCA；若root.val比val1还小，则需要去值更大的右子树寻找LCA；若root.val比val2还大，则需要去值更小的左子树寻找LCA。

class Solution {
    public TreeNode lowestCommonAncestor(TreeNode root, TreeNode p, TreeNode q) {
        // 保证 val1 较小，val2 较大
        int val1 = Math.min(p.val, q.val);
        int val2 = Math.max(p.val, q.val);
        return find(root, val1, val2);
    }

    // 在 BST 中寻找 val1 和 val2 的最近公共祖先节点
    private TreeNode find(TreeNode root, int val1, int val2){
        if(root == null) return null;

        if(root.val > val2){
            // 当前节点太大，去左子树找
            return find(root.left, val1, val2);
        }
        if(root.val < val1){
            // 当前节点太小，去右子树找
            return find(root.right, val1, val2);
        }
        // val1 <= root.val <= val2
        // 则当前节点就是最近公共祖先
        return root;
    }
}

这道题目跟一样

剑指 Offer 68 - I. 二叉搜索树的最近公共祖先

给定一个二叉搜索树, 找到该树中两个指定节点的最近公共祖先。

百度百科中最近公共祖先的定义为：“对于有根树 T 的两个结点 p、q，最近公共祖先表示为一个结点 x，满足 x 是 p、q 的祖先且 x 的深度尽可能大（一个节点也可以是它自己的祖先）。”

例如，给定如下二叉搜索树: root = [6,2,8,0,4,7,9,null,null,3,5]

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-5OrUzHc7-1681899253750)(E:/typora/binarysearchtree_improved.png)]

class Solution {
    public TreeNode lowestCommonAncestor(TreeNode root, TreeNode p, TreeNode q) {
        // 保证 val1 较小，val2 较大
        int val1 = Math.min(p.val, q.val);
        int val2 = Math.max(p.val, q.val);
        return find(root, val1, val2);
    }

    // 在 BST 中寻找 val1 和 val2 的最近公共祖先节点
    private TreeNode find(TreeNode root, int val1, int val2){
        if(root == null) return null;

        if(root.val > val2){
            // 当前节点太大，去左子树找
            return find(root.left, val1, val2);
        }
        if(root.val < val1){
            // 当前节点太小，去右子树找
            return find(root.right, val1, val2);
        }
        // val1 <= root.val <= val2
        // 则当前节点就是最近公共祖先
        return root;
    }
}

完全二叉树的节点个数

222. 完全二叉树的节点个数

给你一棵 完全二叉树 的根节点 root ，求出该树的节点个数。

完全二叉树 的定义如下：在完全二叉树中，除了最底层节点可能没填满外，其余每层节点数都达到最大值，并且最下面一层的节点都集中在该层最左边的若干位置。若最底层为第 h 层，则该层包含 1~ 2h 个节点。

完全二叉树如下图，每一层都是紧凑靠左排列的：

满二叉树如下图，是一种特殊的完全二叉树，每层都是是满的，像一个稳定的三角形

一棵完全二叉树的两棵子树，至少有一棵是满二叉树：

如何求一棵完全二叉树的节点个数呢？

如果是一个普通二叉树，显然只要向下面这样遍历一边即可，时间复杂度 O(N)

public int countNodes(TreeNode root) {
    if (root == null) return 0;
    return 1 + countNodes(root.left) + countNodes(root.right);
}

那如果是一棵满二叉树，节点总数就和树的高度呈指数关系

public int countNodes(TreeNode root) {
    int h = 0;
    // 计算树的高度
    while (root != null) {
        root = root.left;
        h++;
    }
    // 节点总数就是 2^h - 1
    return (int)Math.pow(2, h) - 1;
}

完全二叉树比普通二叉树特殊，但又没有满二叉树那么特殊，计算它的节点总数，可以说是普通二叉树和完全二叉树的结合版

public int countNodes(TreeNode root) {
    TreeNode l = root, r = root;
    // 沿最左侧和最右侧分别计算高度
    int hl = 0, hr = 0;
    while (l != null) {
        l = l.left;
        hl++;
    }
    while (r != null) {
        r = r.right;
        hr++;
    }
    // 如果左右侧计算的高度相同，则是一棵满二叉树
    if (hl == hr) {
        return (int)Math.pow(2, hl) - 1;
    }
    // 如果左右侧的高度不同，则按照普通二叉树的逻辑计算
    return 1 + countNodes(root.left) + countNodes(root.right);
}

算法的递归深度就是树的高度 O(logN)，每次递归所花费的时间就是 while 循环，需要 O(logN)，所以总体的时间复杂度是 O(logN*logN)

–end–