圆柱体与圆锥体的表面积与体积

圆柱的表面积

    在这之前，我们先看看，一个圆柱体是怎么形成的。如果由一个长方形来变成圆柱体的话，该怎么变呢？我们只用把这个长方形卷起来，弯曲成一个没有底面的圆柱体。那么，这就是图形折叠与展开的方式。那么，还有没有别的方法形成一个圆柱体呢？我们可以先试一试平移的方法。我们知道，长方体和正方体都可以由平移得到，我们可以先回顾一下。

    正方体因为6面都是正方形，所以肯定是由一个正方形平移得到。那么就是一个正方形向上平移它边长的距离。可是真正形成一个正方体的，其实是它平移的轨迹。那么，就是一个正方形，沿着与地面垂直的方向向上或向下平移正方形边长的距离，平移的轨迹形成了一个正方体。那么这下就对了。长方体形成的过程跟正方体也差不多，不过正方形就是特殊的长方形。所以长方体既有可能是由长方形平移而成，也有可能是由正方形平移而成。

    那么，圆柱体是由什么平移而成的呢？很明显，圆柱体都是由圆形平移而成的，因为从上面看起来就是圆形。那么我们就应用上面的方法平移圆形，形成圆柱体。一个圆形，沿着与地面垂直的方向向上或向下平移一段距离，平移的轨迹形成了一个圆柱体。这是通过平移的方法来得到圆柱体，还有没有别的方法呢？我们可不可以通过旋转的方法来得到一个圆柱体？

    我们先观察一下圆柱体的正视图，圆柱体的正视图都是长方形，而正方形也是特殊的长方形。那么这就说明，圆柱体可以通过长方形的旋转而得到。有两种方法，一种是沿着它的中心轴旋转而得到，还有一种是沿着它的一条边旋转而得到，这是都可以的。不过，在旋转的时候，我们一定要说清楚旋转的方向，可是我们总不能说左边或是右边吧？那样会让人分不清楚。所以只能说是顺时针或是逆时针。那么最终就是这样的：一个长方形沿着它的中心轴顺时针或逆时针旋转360°，旋转的轨迹就得到了一个圆柱体。可是这个时候我们要思考，一定是旋转360°吗？这个时候我们可以动手做做实验，就会发现，其实只用旋转180°就可以得到一个圆柱体了，可如果是沿着长方形的一条边来旋转的话，那就需要旋转360°才能得到一个完整的圆柱体。这就是一个圆柱体的构建过程。那么，它的表面积现在也就很好求了。

    首先我们可以看，圆柱体的表面积是由哪几个部分组成的。那么我们现在想象一下，把圆柱体展开之后是什么样子？展开之后我们就会发现圆柱就是由一个长方形和两个圆形构成的。

圆柱体=长方形×1+圆×2

  上下各有一个圆，中间是一个长方形。那这样想的话就好办了，因为圆和长方形的面积我们都学过。我们都知道圆的面积是r²×3.14。如果我们把它转化成公式的话，就是πr²。那么既然上面和下面各有一个圆，就总共有两个圆，那么就是2×r²×3.14。就是2×πr²。剩下那个长方形就更简单了。通过圆柱的展开图，我们就可以知道。长方形的长就是底面的圆周，长方形的宽就是这个圆柱体的高。那么，如果用字母公式来表示的话，圆的周长乘以圆柱体的高。就是ch。这就是那个长方形的面积。那两个圆的面积我们就很清楚了，只用πr²×2就行了。那么公式就是ch+πr²×2。那么，这就是圆柱体的表面积了。那么圆柱体的表面积知道了，接下来就是圆锥体了。

圆锥体的表面积

    圆柱体的表面积我们知道了，那么圆锥体的表面积跟圆柱体的表面积会不会有相似之处呢？我们可以先通过图片来看一下圆锥体是由什么组成的。

圆锥体=扇形+圆形

    图片上我们就可以看出来，一个圆锥体是由扇形和一个底面的圆形所组成的。那么同样，我们也思考一下圆锥体的构建过程。我们可以试试用圆柱体的构成方法能不能构建出一个圆锥体呢？不过显而易见的是，圆锥体不能通过平移得到，因为圆锥体的最上方是一个点，那就意味着平移的话就要一边平移一边无限缩小为一个点。那么我们也就得到了圆锥的一个构建过程，将圆柱体的上底面无限缩小为一个点，得到了一个圆锥体。

    可是我们能不能通过旋转的方式来得到圆锥底呢？因为圆锥体的正是图是三角形，那我们就尝试用三角形来旋转得到吧。我们可以先随便拿一个三角形来试一下，例如说一个锐角三角形，沿着随意一条边顺时针或者逆时针旋转180°，最终形成的到底是不是圆锥体呢？然后发现，不是的。最后形成的图形大概是两个圆锥体，所以不行。那么什么样的三角形能够形成圆锥体？我们再看一下圆锥体的正视图，应该是直角三角形的旋转形成。那么就是，一个直角三角形沿着它的直角边顺时针或逆时针旋转360°，最终的轨迹，形成了一个圆锥体。

    圆锥体的构建过程已经清楚了，那么表面积的公式呢？我们可以把圆锥体拆分开来，会发现它是一个扇形加上一个底面的圆形。圆形简单，最主要是上面的扇形。扇形的面积我们以前是学过的，大约有两种方法。一种是看扇形的内角和与360°的比，一种是弧长和圆周长的比。如果没有告诉你内角度数的话，我们就可以看弧长。因为弧长其实就是圆底面周长，而“L” 在这里面就表示母线，就是扇形半径。所以第一个公式我们就列出来了：2πr分之L。就是扇形的面积。而底面圆形的面积就简单了，半径的平方乘3.14就是圆的面积πr²。所以圆锥体的面积就是2πr分之L×πr²。就是圆锥体的面积。不过，这个公式是可以化简的。πr²就是π×r×r，就可以和旁边的2πr中的πr相抵押。那么，就是右边剩下一个r，左边变成2分之L。2分之L就是L÷2，就是½Lr。那么，这就是圆锥体的表面积了。

圆柱体的体积

    最难的部分还在圆柱体的体积。我们知道圆柱体和圆锥体的表面积该怎么求了，那么圆柱体的体积该怎么求呢？对于这个问题，我一开始也挺困惑的。因为圆柱体长得跟长方体很像，包括它的正视图也是长方形的。可是它的边是曲面， 没有角。那么这样该怎么求呢？这个时候我突然想到了之前同学们的论文。我突然明白了。既然圆柱体长得跟长方体很像，那么我们是不是就可以利用它们的相像之处，来把它转化成我们学过的长方体呢？

圆柱体？长方体？

    不过后来通过切割法，我突然想到了该怎么把它转化成长方体。还记得当时我们求圆的面积的时候是怎么求的吗？把圆分成一些小三角形，然后再把它们重新拼组成长方形，就可以求出来圆的面积。那么现在变成了圆柱体，我们是不是可以利用同样的方法，把圆柱体平均分成几份相同的立体图形，之后，再重新把它们拼成长方体。

拼成长方体后

拆分

平均分

圆柱体

    当然，因为圆不是一个有棱有角的图形，所以那些小三角形只有无限的被细分之后，底边才会变成直线。所以我们就需要想象这个圆柱体被无限的分割之后组成了一个长方体。那当我们想象它变成了一个长方体之后，我们来想想长方体的体积该怎么求。长方体的体积我们都已经学过了。长×宽×高。其实就相当于是底面积乘高。用字母表示为a×b×h。其实等于ab×h。那么当我们把圆柱体变成长方体之后，就会发现圆柱体底面那个圆，其实就变成了长方体的底。而高度没有变。所以我们就得出来了，圆柱体的体积其实就是它的底面积乘以高。如果用我们所熟悉的公式来表示的话，就是πr²h，说的简单一点，就是用圆柱体的底面积乘以圆柱体的高。

圆锥体的体积

    虽然说圆柱体的体积已经很难了，可是真正的难点还在于圆锥体的体积。圆柱体跟长方体很相似，可是圆锥体却不一样，圆柱体可以利用跟长方体相似的地方以此来转换，并且用我们学过的方法来得出它的体积。可是有关于圆锥体，我们并没有学过跟它相似图形的体积。所以到底该怎么求出圆锥体的体积呢？我其实一开始想到过三棱锥，可是后来就发现我们必须要把它转化成我们已经学过的立体图形，否则的话，就算他们的公式一模一样，你也不知道该怎么求。

    既然没有办法用转化的方式推导出来，那么我们只好进行物理实验了。我们现在唯一能想到的可能性就是：圆锥体和圆柱体有许多相似之处，圆柱体有两个底面，而圆锥体只有一个底面。那么如果这是一个和圆柱体同底等高的圆锥体，它的面积有没有可能是圆柱体的1/3或者1/2？

    可是这样的猜想，我们只能通过实验来进行。可以先自己做两个同底等高的圆柱体和圆锥体，需要注意的地方就是他们的底面必须要一样大。然后再找一点土或者沙子，把沙子倒进圆锥体的模具里面，一定要放满。然后再倒进圆柱体的模具里面，看看能装几次。我一开始的猜测应该是两次，因为同底等高的圆柱体和圆锥体看上去体积就是两倍和1/2的关系，但是事实证明我错了。因为最终倒了三次才把圆柱体倒满。

    但是其实这个方法是有纰漏的：第1点，就是我们无法确定沙子的数量到底是不是完全正确的。因为在这个过程中很有可能会出现一些差错，导致最后的结果变成了这样。第2点是，我们只靠装沙子的方法是不够精密的。谁知道装进去的沙子有没有可能是一个无限循环的小数，没准比三倍少那么一点点，但是看不出来。所以这个答案并不一定就是准确的，而以后要怎么验证它，就要看我们自己了。