【数学】凸函数与詹森不等式（琴生不等式）解析

【数学】凸函数与詹森不等式（琴生不等式）

1 凸函数和凹函数

• 下凸函数（凸函数），从几何意义上看，下凸函数就是任意两点之间的弦（即这两点构成的线段）都在该函数图像（此处是指这两点之间的函数图像，而非全部的函数图像）的上方。
  
• 上凸函数（也即，凹函数），从几何意义上看，上凸函数就是任意两点之间的弦（即这两点构成的线段）都在该函数图像（此处是指这两点之间的函数图像，而非全部的函数图像）的下方。
  

2 琴生不等式（詹森不等式）

琴生不等式以丹麦技术大学数学家约翰·延森（John Jensen）命名。它给出积分的凸函数值和凸函数的积分值间的关系。
琴生（Jensen）不等式（也称为詹森不等式），使用时注意前提、等号成立条件。

• 对于凸函数：
  

  • 证明：
    

• 对于凹函数（上凸函数），变号即可。