算法的空间复杂度

空间复杂度也是一个数学表达式，是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度

空间复杂度不是程序占用了多少bytes的空间，因为这个也没太大意义

所以空间复杂度算的是变量的个数

空间复杂度计算规则基本跟实践复杂度类似，也使用大O渐进表示法

大O渐进表示法：

1、用常数1取代运行时间中的所有加法常数

2、在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项

3、如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶

注意：

函数运行时所需要的栈空间(存储参数、局部变量、一些寄存器信息等)在编译期间已经确定好了，因 此空间复杂度主要通过函数在运行时候显式申请的额外空间来确定 

直接上例子

void BubbleSort(int* a, int n)
{
    assert(a);
    for (size_t end = n; end > 0; --end)
    {
        int exchange = 0;
    for (size_t i = 1; i < end; ++i)
    {
        if (a[i-1] > a[i])
        {
            Swap(&a[i-1], &a[i]);
            exchange = 1;
        }
    }
        if (exchange == 0)
            break;
    }
}

求冒泡排序法的空间复杂度

首先看完这个代码，我们可以看出他为*a，n，end，exchange这几个量开辟了空间

遵循大O表示法，常量默认为1，所以他的空间复杂度为：

                                                                         O（1）

---

long long* Fibonacci(size_t n)
{
    if(n==0)
        return NULL;
 
    long long * fibArray = (long long *)malloc((n+1) * sizeof(long long));
    fibArray[0] = 0;
    fibArray[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n ; ++i)
    {
        fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray [i - 2];
    }
    return fibArray;
}

求斐波那契数列的空间复杂度

拿出斐波那契数列的时间复杂度的图来举例

由于函数递归调用，每一次调用结束后都会执行完调用它的函数的语句之后才会进行下一次调用

对于斐波那契数列来说，递归调用并不是一口气跑完全部的，而是一层一层函数调用实现的

如图上所示，他的调用顺序应该是先从Fib（N）调用到Fib（2），在返回Fib（3）调用Fib（1）

所以我们可以认为，他的最深层调用即为Fib（2）

但是我们通过函数栈帧的创建与销毁可以得知，栈是从高地址向低地址开辟的

并且每一次函数调用都会在栈中开辟一个新的空间，每当函数调用完都会重新销毁释放空间，留给下一个函数的调用开辟使用

~ 一个有味道的例子：

一个人上厕所，进入了一个厕所位，生产了一个物品（你们懂的）

厕所理解为内存

这个人可以理解为是一个函数

这个厕所位可以理解为是栈中的一块空间

他的生产物可以理解为是这个函数内的变量

当他上完厕所，进行冲水操作之后，离开厕所

可以把这个过程理解为函数调用完毕，进行出栈操作

通过以上例子，我们不难看出，其实对于出栈而言，栈原本的那一块空间并没有被删除

而是留下给下一个函数调用来使用

对于这个斐波那契数列递归调用同理

所以他的空间复杂度也就是递归调用的最深层次数，所以是：

                                                                        O（N） 

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long long Fac(size_t N)
{
    if(N == 0)
        return 1;
 
    return Fac(N-1)*N;
}

对于这个递归函数而言，递归调用了N次，开辟了N个栈帧（与斐波那契数列同理）

且每个栈帧使用了常数个空间，所以他的空间复杂度为：

                                                                       O（N）