判断一个数是否为质数

质数：指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数。

即：除了1和它本身，不能被其他自然数整除。
如2只能被2和1整除，3只能被3和1整除，4能被4,2和1整除。故2,3是质数，4为合数。
1即非质数又非合数
待判断数N，判断N是否为质数。
暴力循环法：我们拿待判断数N去除以1至N-1，如果存在可以整除的数，那么N为合数。代码中，我们用取模运算判断是否整除。
对于2和3特殊处理，直接返回true

public static boolean isPrime(int n){
    if (n <= 3) {
        return n > 1;
    }
    for(int i = 2; i < n; i++){
        if (n % i == 0) {
            return false;
        }
    }
    return true;
}

换个想法，任何大于N/2的整数，都不可能乘以>=2的数得到N。所以我们的循环截止至N/2即可。
再进一步思考：如果N为合数，存在两个正整数，使得P1*P2=N（我们称P1,P2为约数）,则P1<=sqrt(N)<=P2，
故我们只需要循环至sqrt(N)即可。

public boolean isPrime(int n) {
    if (n <= 3) {
        return n > 1;
    }
    int sqrt = (int)Math.sqrt(n);
    for (int i = 2; i <= sqrt; i++) {
        if(n % i == 0) {
            return false;
        }
    }
    return true;
}

让我们再进一步，现在引入6X法。
证明A：所有的质数都是6X+1或者6X-1.
证明：6X可以被6整除，6X+2可以被2整除，6X+3可以被3整除，6X+4可以被2整除，6X+5和6X-1一个意思。
故仅有6X+1或6X-1可能是质数。
质数都是6X-1或者6X+1，但6X-1或者6X+1不都是质数
证明B：当N等于6X-1或者6X+1且不是质数时，N不是2或者3的倍数。
证明：6X-1=2(3X)-1=3(2X)-1，所以6X-1不可能整除2或者3。6X+1证法相同。
有以上两点证明，我们将代码进一步优化。

    public boolean isPrime(int num) {
        if (num <= 3) {
            return num > 1;
        }
        // 不在6的倍数两侧的一定不是质数
        if (num % 6 != 1 && num % 6 != 5) {
            return false;
        }
        int sqrt = (int) Math.sqrt(num);
        //查看后继详解
        for (int i = 5; i <= sqrt; i += 6) {
            if (num % i == 0 || num % (i + 2) == 0) {
                return false;
            }
        }
        return true;
    }

详解：
特殊处理2,3判断和去除不在6的倍数两侧的数后，N=6x-1或6x+1。我们需要循环判断N是否可整除某些数。
根据证明B，N不能整除2,3,4(能整除4就能整除2)。所以
从5开始循环整除。
N不能被2,3整除，5可能可以整除。
N不能被2,3整除，5+1=6不能被整除，因为能被6整除就能被2或者3整除。
N不能被2,3整除，5+2=7可能可以整除。
N不能被2,3整除，5+3=8，一定不能被整除，因为能被8整除就能被2整除。
N不能被2,3整除，5+4=9，一定不能被整除，因为能被9整除就能被3整除。
N不能被2,3整除，5+5=10，一定不能被整除，因为能被10整除就能被2整除。
若i=0,1,2,3,4,5……，
即N不可能整除i*6+2,i*6+3,i*6+4,(i+1)*6因为这与证明2冲突。
N可能整除i*6+5或(i+1)*6+1。
结论：所以我们在循环判断内以6为步长，仅判断N%5+i*6或N%7+i*6。
即：如果6X+1或6X-1不是质数，则只能整除5+i*6或7+i*6。