墨卡托(Mercator)投影

墨卡托(Mercator)投影

       Google Maps、Virtual Earth等网络地理所使用的地图投影，常被称作Web Mercator或Spherical Mercator，它与常规墨卡托投影的主要区别就是把地球模拟为球体而非椭球体。

1 什么是墨卡托投影？

       墨卡托(Mercator)投影，又名”等角正轴圆柱投影”，荷兰地图学家墨卡托（Mercator）在1569年拟定，假设地球被围在一个中空的圆柱 里，其赤道与圆柱相接触，然后再假想地球中心有一盏灯，把球面上的图形投影到圆柱体上，再把圆柱体展开，这就是一幅标准纬线为零度（即赤道）的”墨卡托投 影”绘制出的世界地图。

2 Google们为什么选择墨卡托投影？

       墨卡托投影的”等角”特性，保证了对象的形状的不变行，正方形的物体投影后不会变为长方形。”等角”也保证了方向和相互位置的正确性，因此在航海和航空中常常应用，而Google们在计算人们查询地物的方向时不会出错。 墨卡托投影的”圆柱”特性，保证了南北（纬线）和东西（经线）都是平行直线，并且相互垂直。而且经线间隔是相同的，纬线间隔从标准纬线（此处是赤道，也可能是其他纬线）向两级逐渐增大。 但是，”等角”不可避免的带来的面积的巨大变形，特别是两极地区，明显的如格陵兰岛比实际面积扩大了N倍。

      为什么是圆形球体，而非椭球体？ 这说来简单，仅仅是由于实现的方便，和计算上的简单，精度理论上差别0.33%之内，特别是比例尺越大，地物更详细的时候，差别基本可以忽略。

3 Web墨卡托投影坐标系

      以整个世界范围，赤道作为标准纬线，本初子午线作为中央经线，两者交点为坐标原点，向东向北为正，向西向南为负。 X轴：由于赤道半径为6378137米，则赤道周长为2*PI*r = 20037508.3427892，因此X轴的取值范围：[-20037508.3427892,20037508.3427892]。 Y轴：由墨卡托投影的公式可知，同时上图也有示意，当纬度φ接近两极，即90°时，y值趋向于无穷。这是那些”懒惰的工程师”就把Y轴的取值范围也限定在[-20037508.3427892,20037508.3427892]之间，搞个正方形。 懒人的好处，众所周知，事先切好静态图片，提高访问效率云云。俺只是告诉你为什么会是这样子。因此在投影坐标系（米）下的范围是：最小 (-20037508.3427892, -20037508.3427892 )到最大 (20037508.3427892,20037508.3427892)。

4 对应的地理坐标系

      按道理，先讲地理坐标系才是，比如球体还是椭球体是地理坐标系的事情，和墨卡托投影本关联不大。简单来说，投影坐标系(PROJCS)是平面坐标系，以米 为单位；而地理坐标系(GEOGCS)是椭球面坐标系，以经纬度为单位。具体可参考《坐标系、坐标参照系、坐标变换、投影变换》。 经度：这边没问题，可取全球范围：[-180,180]。 纬度：上面已知，纬度不可能到达90°，懒人们为了正方形而取的-20037508.3427892，经过反计算，可得到纬度 85.05112877980659。因此纬度取值范围是[-85.05112877980659，85.05112877980659]。其余的地区怎 么办？没事，企鹅们不在乎。 因此，地理坐标系（经纬度）对应的范围是：最小(-180,-85.05112877980659)，最大(180, 85.05112877980659)。至于其中的Datum、坐标转换等就不再多言。

5 相关坐标计算

      关于Google Maps等的组织方式------地图瓦片金字塔，估计我在这里重复一遍这玩意，怕也是没人看了。尽管原理都一样，但具体到写不同厂商不同数据源的代码时，你会发 现，可缩放级别数不一样，最小级别不一样，编码方式不一样，比如Google的QRST，微软的四叉树，OSGeo的TMS等。 然而，你或许也不必这么麻烦，因为这些算法在网络上早已遍布朝野，你尽可从他人博客中获取，或是从开源软件里学习。这本身都不是秘密，微软自己也是公布的。 《Tiles à la Google Maps》 用交互性地方式可得到任一Tile的边界范围，各种流行编码方式等。该页面的链接都非常有价值，部分也是本文写作的重要参考。作者用python完成了下 列坐标之间转换算法：经纬度（出现在KML中的坐标，WMS的BBOX参数等），平面坐标XY（米，Web Mercator投影坐标系），金字塔的XYZ（即X轴的位置，Y轴的位置，和缩放级别ZoomLevel），每个Tile的编码Key值（QRST或 0123等）。转换时，还需要注意两个概念，Ground Resolution和Map Scale。

      Ground Resolution，地面分辨率，类似Spatial Resolution（空间分辨率），我们这里主要关注用象元(pixel size)表示的形式：一个像素(pixel)代表的地面尺寸(米)。以Virtual Earth为例，Level为1时，图片大小为512*512（4个Tile），那么赤道空间分辨率为：赤道周长/512。其他纬度的空间分辨率则为纬度 圈长度/512，极端的北极则为0。Level为2时，赤道的空间分辨率为 赤道周长/1024，其他纬度为纬度圈长度1024。很明显，Ground Resolution取决于两个参数，缩放级别Level和纬度latitude ，Level决定像素的多少，latitude决定地面距离的长短。地面分辨率的公式为，单位：米/像素： ground resolution = (cos(latitude * pi/180) * 2 * pi * 6378137 meters) / (256 * 2levelpixels)
      Map Scale，即地图比例尺，小学知识，图上距离比实地距离，两者单位一般都是米。在Ground Resolution的计算中，由Level可得到图片的像素大小，那么需要把其转换为以米为单位的距离，涉及到DPI（dot per inch），暂时可理解为类似的PPI（pixelper inch），即每英寸代表多少个像素。256 * 2level / DPI即得到相应的英寸inch，再把英寸inch除以0.0254转换为米。实地距离仍旧是：cos(latitude * pi/180) * 2 * pi * 6378137 meters; 因此比例尺的公式为，一般都化为1：XXX，无单位： map scale = 256 * 2level / screen dpi / 0.0254 / (cos(latitude * pi/180) * 2 * pi * 6378137) = 1 : (cos(latitude * pi/180) * 2 * pi * 6378137 * screen dpi) / (256 * 2level * 0.0254)
其实，Map Scale 和 Ground Resolution存在对应关系，毕竟都和实地距离相关联，两者关系：map scale = 1 : ground resolution * screen dpi / 0.0254 meters/inch 《Virtual Earth Tile System》列举了Virtual Earth在赤道上，Level、像素数、地面分辨率、地图比例尺的对应关系，同时本文也简单介绍了Mercator投影和上述两个概念，推荐。

 

6 相关坐标计算的更正（重点在这部分，花了我一下午的时间验证发现的东东）

 

      花了一下午的时间终于可以计算每个缩放级别的比例尺了。上面“ground resolution = (cos(latitude * pi/180) * 2 * pi * 6378137 meters) / (256 * 2levelpixels)”计算公式是有错的，之前我一直用这个公式来验证，结果总是相距甚远。查阅相关文献之后，找出了问题的所在。

      Google Map 是由分辨率大小为256*256 的图片无缝拼接而成的，称之为瓦片。在初始等级时，整个地球只投影在一张256*256 的图片上，也就是说256 个像素代表了40075016.685578488米。Google Map 中定义的比例尺与传统意义定义的比例尺不同，所定义的是单位像素所代表的距离值。在初始等级时的比例尺为：40075016.685578488/256＝156543.033928041（米/像素）。地图的缩放功能是由四叉树实现的，地图放大一个级别后原来256*256 的图片将变成512＊512 的图片，也就是说将原来的图片分裂成4 张256*256 的图片。这时比例尺为：
40075016.685578488/512=78271.51696402（米/像素）。
      每放大一级每张图片都会分裂成四张，比例尺则减小为原来的一半。最后随着缩放等级的增大，瓦片自顶向下呈几何级数的增长，形成一个金字塔状，可参考下表。 
所以，ground resolution = (cos(latitude * pi/180) * 2 * pi * 6378137 meters) / (256 * 2levelpixels)”应该更改为：

ground resolution = (cos(latitude * pi/180) * 2 * pi * 6378137) / (256 * Pow(2,level))，其中latitude表示纬度，level表示放大多少倍数，pi是3.14。