高等代数理论基础42：子空间的交与和

子空间的交与和

子空间的交

定理：若是线性空间V的两个子空间,则它们的交也是V的子空间

证明：

运算规律

(交换律)

(结合律)

注：也是子空间

子空间的和

定义：设是线性空间V的子空间,由所有能表成的向量组成的子集合,称为的和,记作

定理：若是V的子空间,则它们的和也是V的子空间

证明：

运算规律

(交换律)

(结合律)

注：,是由所有表成的向量组成的子空间

子空间的交与和有关结论

1.设是子空间,则,

2.设是子空间,则

例

1.三维几何空间V中,用表示一条通过原点的直线,表示一张通过原点且与垂直的平面,则,

2.线性空间V中,

维数公式

定理：若是线性空间V的两个子空间,则

证明：

注：和的维数常比维数的和小

例：三维几何空间中,两张通过原点的不同平面之和是整个三维空间,维数之和是4,交是一维的直线

推论：若n维线性空间V中两个子空间的维数之和大于n,则必含非零公共向量

证明：