AtCoder - ABC 162 - E（容斥思维）

E - Sum of gcd of Tuples (Hard)

题意：

有 n 个大小为 1∼k 的数，找出n个数的所有排列中的 gcd(a1,a2,...,an) 之和。

数据范围：

2 ≤ N ≤

 1 ≤ K ≤ 

思路：

设 dp[i] = gcd(a1,a2,a3,……,an) = i 时的排列数量，所以排列中的 ai 必须是 i 的倍数，有  (向下取整)个数，在 n 个位置随意选择。总共有种。
但是，这里面的排列不全是 gcd= i 的，还包含 gcd = i*2, gcd = i*3……的，所以要减去这些不符合的。如：i = 2,gcd[2] 中还包含 gcd[4], gcd[6]……。
实现：倒序枚举 i (k~1)，先用快速幂求出；再枚举 i 的倍数 j ，减去 dp[j]。 

Code:

#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;

#define x first
#define y second
#define int long long

const int N = 200010, INF = 0x3f3f3f3f, mod = 1e9 + 7;

typedef pairPII;

int n, k;
int dp[N];                           //dp[i]表示gcd=i的排列个数

//快速幂
int qmi(int a, int k)
{
	int res = 1;
	while (k)
	{
		if (k & 1)
			res = (res * a) % mod;
		k >>= 1;
		a = a * a % mod;
	}
	return res;
}

void solve()
{
	cin >> n >> k;
	int ans = 0;

	for (int i = k; i >= 1; i--)      //倒序枚举i
	{
		int num = k / i;              //num为小于k的i的倍数的个数
		dp[i] = qmi(num, n);

		for (int j = i + i; j <= k; j += i)       //枚举i的倍数j
			dp[i] = (dp[i] - dp[j] + mod) % mod;  //减去gcd[j],这里加mod是为了防止值为负数，因为算qmi时已经取modl了

		ans = (ans + dp[i] * i) % mod;            //计算i*gcd[i]的总和
	}
	cout << ans << endl;
}

signed main()
{
	int t = 1;
	//cin >> t;
	while (t--)
	{
		solve();
	}

	return 0;
}

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吐槽：本题注意点：

注意模mod时，为了避免负数注意多加一次mod。