P4655 [CEOI2017] Building Bridges
P4655 [CEOI2017] Building Bridges
题意：
有 n n n 根柱子，每根柱子有高度 h i h_i hi，在柱子 i i i 和柱子 j j j 之间建桥的代价为 ( h i − h j ) 2 (h_i-h_j)^2 (hi−hj)2。每根没建桥的柱子需要花费 w i w_i wi 的代价拆除。询问使第 1 1 1 根柱子和第 n n n 根柱子连接的最小代价。桥不能在柱子之外的地方相交。
解析：
令 f i f_i fi 为使 1 1 1 和 i i i 连接的最小代价。枚举最后一座桥的起点 j j j， f i = min j < i { f j + ∑ k = j + 1 i − 1 w k + ( h i − h j ) 2 } f_i = \min\limits_{j
前缀和优化一下： f i = min j < i { f j + s i − 1 − s j + ( h i − h j ) 2 } f_i = \min\limits_{j
有 h i × h j h_i\times h_j hi×hj项，可以考虑斜率优化。
整理式子： f j + h j 2 − s j = 2 h i × h j + f i − h i 2 − s i − 1 f_j+h_j^2-s_j = 2h_i\times h_j+f_i-h_i^2-s_{i-1} fj+hj2−sj=2hi×hj+fi−hi2−si−1
y = f j + h j 2 − s j , k = 2 h i , x = h j , b = f i − h i 2 − s i − 1 y = f_j+h_j^2-s_j, k = 2h_i, x = h_j, b = f_i-h_i^2-s_{i-1} y=fj+hj2−sj,k=2hi,x=hj,b=fi−hi2−si−1
容易发现 k k k 和 x x x 都不单调。 x x x 的单调性影响维护凸壳的方式， k k k 的单调性影响寻找最优决策点的方式
可以通过离线的方式解决：cdq分治！（不会平衡树维护凸包）
cdq分治中需要计算左侧对右侧的贡献。
如果左侧 x x x 递增，则可以用单调队列维护左侧的凸壳；如果右侧斜率 k k k 递增，则具有决策单调性。
对右侧点来说，决策点要么位于右部，要么位于左部（怎么感觉有点废话），所以cdq分治不会遗漏决策点。
- 递归处理左侧区间
- 单调队列维护左侧点构成的凸包
- 对右侧区间按斜率排序，从来自左侧的决策点转移
- 递归处理右侧区间
- 整个区间按照 x x x 排序
时间复杂度为 O ( n log n ) O(n\log n) O(nlogn)
代码：
#include