jzp线性筛及其简单应用
前言：
很久以前看过了线性筛，没怎么注意原理，但是后来发现线性筛还有很有用的。。
比如上次做的一道题就需要找出每个数的最小质因子，先筛再找就太慢了。。一看线性筛发现就可以直接在筛的过程中处理出来了！
今天又学习了屌炸天的jzp线性筛，可以在o(n)的时间内求出欧拉函数， 莫比乌斯函数等积性函数
原理:
首先jzp线性筛并不是一种新的线性筛。。其实就是jzp大牛对线性筛的一些开发应用
先回忆一下积性函数的定义 若a，b互质 则f(ab)=f(a)*f(b)的函数f 定义为积性函数，不要求a，b互质也满足的称为完全积性函数
欧拉函数和莫比乌斯函数都是积性函数但不是完全积性函数
假如我们要求 欧拉函数f(n)和莫比乌斯函数 mb(n)
显然如果n的所有质因数(p1,p2...)的次数都是1，显然p1,p2....是互质的，满足积性函数定义，则f(n)=f(p1)*f(p2).....同理mb(n)
而如果某个质因数p的次数不为1，假设为k，我们可以看(yy)出 f(p^k)=p^k-p^(k-1)=(p-1)*p^k，同时由mobius函数定义知如果某个质因数次数大于1次，则其函数值为0
那么如何在线性筛中找到次数不为1的质因子呢
我们观察 if(i%prime[j]==0) break; 这句代码，此处要筛的数n =i*prime[j]，而当i%prime[j]==0 时 显然n%(prime[j]*prime[j])==0。
因此可以知道此时在n的质因子中 prime[j]的次数已经大于1了，就可以处理相应的欧拉函数和莫比乌斯函数了！
简单应用：
hdu1695
题意：
求[1,n]和[1,m]之间有多少个互质的数
做法：
以前是用容斥做的，但是容斥需要找质因数，再二进制枚举，比较慢
莫比乌斯函数其实就是容斥的系数，所以直接枚举可能出现的约数（其实就是1~n）用莫比乌斯函数求和即可
最后的式子(不判重)为sum(i=1 to n , mb(i)*(n/i)*(m/i));
这里还有一个小优化，由于是整数除法，对于i=[a,n/(n/a)] n/i都是是一样的 ，比如 100/(21,22...25)都等于4，这样可以提前对莫比乌斯函数求前缀和，直接累加即可
具体实现见代码，大神们证明了这个优化可以把复杂度降到sqrt(n)级别。具体实现起来的确是快多了，hdu直接0ms AC了！
代码：
#include <iostream> #include <stdio.h> #include<string.h> #include<algorithm> #include<string> #include<ctype.h> using namespace std; #define maxn 100000 bool notprime[maxn+10]; int prime[maxn+10]; int mb[maxn+10]; int f[maxn+10]; long long sum[maxn+10]; int np; long long n,m; void jzp() { np=0; memset(notprime,0,sizeof(notprime)); mb[1]=1; for(int i=2; i<=maxn; i++) { if(!notprime[i]) { prime[np++]=i; mb[i]=-1; //f[i]=i-1; } for(int j=0; j<np&&i*prime[j]<=maxn; j++) { notprime[i*prime[j]]=1; if(i%prime[j]==0) { mb[i*prime[j]]=0; //f[i*prime[j]]=f[i]*prime[j]; break; } else { mb[i*prime[j]]=-mb[i]; //f[i*prime[j]]=f[i]*(prime[j]-1); } } } } int main() { int t,cas=1; scanf("%d",&t); jzp(); sum[0]=0; for(int i=1;i<=maxn;i++) { sum[i]=sum[i-1]+mb[i]; } while(t--) { int a,b,c,d,k; scanf("%d%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d,&k); if(k==0) { printf("Case %d: 0\n",cas++); continue; } n=min(b/k,d/k); m=max(b/k,d/k); long long ans=0; for(int i=1;i<=n;i++) { int j=n/(n/i); ans+=(n/i)*(n/i)*(sum[j]-sum[i-1]); i=j; } ans=-(ans/2); for(int i=1;i<=n;i++) { int j=min(m/(m/i),n/(n/i)); ans+=(n/i)*(m/i)*(sum[j]-sum[i-1]); i=j; } printf("Case %d: %I64d\n",cas++,ans); } return 0; }
最后贴jzp筛模板
bool notprime[maxn+10];
int prime[maxn+10]; int mb[maxn+10]; //mobius int f[maxn+10]; //euler int np; void jzp() { np=0; memset(notprime,0,sizeof(notprime)); mb[1]=1; for(int i=2;i<=maxn;i++) { if(!notprime[i]) { prime[np++]=i; mb[i]=-1; f[i]=i-1; } for(int j=0;j<np&&i*prime[j]<=maxn;j++) { notprime[i*prime[j]]=1; if(i%prime[j]==0) { mb[i*prime[j]]=0; f[i*prime[j]]=f[i]*prime[j]; break; } else { mb[i*prime[j]]=-mb[i]; f[i*prime[j]]=f[i]*(prime[j]-1); } } } }