Trie树结构（AC自动机前奏）

Trie树就是字符树，其核心思想就是空间换时间。
举个简单的例子。
给你100000个长度不超过10的单词。对于每一个单词，我们要判断他出没出现过，如果出现了，第一次出现第几个位置。
这题当然可以用hash来，但是我要介绍的是trie树。在某些方面它的用途更大。比如说对于某一个单词，我要询问它的前缀是否出现过。这样hash就不好搞了，而用trie还是很简单。
现在回到例子中，如果我们用最傻的方法，对于每一个单词，我们都要去查找它前面的单词中是否有它。那么这个算法的复杂度就是O(n^2)。显然对于100000的范围难以接受。现在我们换个思路想。假设我要查询的单词是abcd，那么在他前面的单词中，以b，c，d，f之类开头的我显然不必考虑。而只要找以a开头的中是否存在abcd就可以了。同样的，在以a开头中的单词中，我们只要考虑以b作为第二个字母的……这样一个树的模型就渐渐清晰了……

对于每一个节点，从根遍历到他的过程就是一个单词，如果这个节点被标记为红色，就表示这个单词存在，否则不存在。
那么，对于一个单词，我只要顺着他从跟走到对应的节点，再看这个节点是否被标记为红色就可以知道它是否出现过了。把这个节点标记为红色，就相当于插入了这个单词。
这样一来我们询问和插入可以一起完成，所用时间仅仅为单词长度，在这一个样例，便是10。
我们可以看到，trie树每一层的节点数是26^i级别的。所以为了节省空间。我们用动态链表，或者用数组来模拟动态。空间的花费，不会超过单词数×单词长度。

(转自一大牛)

 

Trie树既可用于一般的字典搜索，也可用于索引查找。对于给定的一个字符串a1,a2,a3,...,an.则

采用TRIE树搜索经过n次搜索即可完成一次查找。不过好像还是没有B树的搜索效率高，B树搜索算法复杂度为logt(n+1/2).当t趋向大，搜索效率变得高效。怪不得DB2的访问内存设置为虚拟内存的一个PAGE大小，而且帧切换频率降低，无需经常的PAGE切换。

// trie.cpp : 定义控制台应用程序的入口点。 // #include "stdafx.h" #include <stdio.h> #include <iostream> //#include <ciostream.h> #include <string.h> using namespace std; const int num_chars = 26; class Trie { public:        Trie();        Trie(Trie& tr);      virtual ~Trie();      int trie_search(const char* word, char* entry ) const;      int insert(const char* word, const char* entry);      int remove(const char* word, char* entry); protected:      struct Trie_node      {          char* data;            Trie_node* branch[num_chars];            Trie_node();      };              Trie_node* root; }; Trie::Trie_node::Trie_node() {       data = NULL;     for (int i=0; i<num_chars; ++i)           branch[i] = NULL; } Trie::Trie():root(NULL) { } Trie::~Trie() { } int Trie::trie_search(const char* word, char* entry ) const {     int position = 0;     char char_code;       Trie_node *location = root;     while( location!=NULL && *word!=0 )     {         if (*word>='A' && *word<='Z')               char_code = *word-'A';         else if (*word>='a' && *word<='z')               char_code = *word-'a';         else return 0;           location = location->branch[char_code];           position++;           word++;     }     if ( location != NULL && location->data != NULL )     {         strcpy(entry,location->data);         return 1;     }     else return 0; } int Trie::insert(const char* word, const char* entry) {     int result = 1, position = 0;     if ( root == NULL ) root = new Trie_node;     char char_code;       Trie_node *location = root;     while( location!=NULL && *word!=0 )     {         if (*word>='A' && *word<='Z')               char_code = *word-'A';         else if (*word>='a' && *word<='z')               char_code = *word-'a';         else return 0;         if( location->branch[char_code] == NULL )               location->branch[char_code] = new Trie_node;           location = location->branch[char_code];           position++;           word++;     }     if (location->data != NULL)           result = 0;     else {           location->data = new char[strlen(entry)+1];         strcpy(location->data, entry);     }     return result; } int main() {       Trie t;     char entry[100];       t.insert("aa", "DET");       t.insert("abacus","NOUN");       t.insert("abalone","NOUN");       t.insert("abandon","VERB");       t.insert("abandoned","ADJ");       t.insert("abashed","ADJ");       t.insert("abate","VERB");       t.insert("this", "PRON");     if (t.trie_search("this", entry))         cout<<"'this' was found. pos: "<<entry<<endl;     if (t.trie_search("abate", entry))         cout<<"'abate' is found. pos: "<<entry<<endl;     if (t.trie_search("baby", entry))         cout<<"'baby' is found. pos: "<<entry<<endl;     else         cout<<"'baby' does not exist at all!"<<endl;          if (t.trie_search("aa", entry))         cout<<"'aa was found. pos: "<<entry<<endl; }

 

10.3 Trie树

当关键码是可变长时，Trie树是一种特别有用的索引结构。

10.3.1 Trie树的定义

Trie树是一棵度 m ≥ 2 的树，它的每一层分支不是靠整个关键码的值来确定，而是由关键码的一个分量来确定。

如下图所示Trie树，关键码由英文字母组成。它包括两类结点：元素结点和分支结点。元素结点包含整个key数据；分支结点有27个指针，其中有一个空白字符‘b’，用来终结关键码；其它用来标识‘a’, ‘b’,..., ‘z’等26个英文字母。

在第0层，所有的关键码根据它们第0位字符, 被划分到互不相交的27个类中。

因此，root→brch.link[i] 指向一棵子Trie树，该子Trie树上所包含的所有关键码都是以第 i 个英文字母开头。

若某一关键码第 j 位字母在英文字母表中顺序为 i ( i = 0, 1, ?, 26 ), 则它在Trie树的第 j 层分支结点中从第 i 个指针向下找第 j+1 位字母所在结点。当一棵子Trie树上只有一个关键码时，就由一个元素结点来代替。在这个结点中包含有关键码，以及其它相关的信息，如对应数据对象的存放地址等。

Trie树的类定义：

const int MaxKeySize = 25; //关键码最大位数

typedef struct { //关键码类型
　char ch[MaxKeySize]; //关键码存放数组
　int currentSize; //关键码当前位数
} KeyType;

class TrieNode { //Trie树结点类定义
　friend class Trie;
protected:
　enum { branch, element } NodeType; //结点类型
　union NodeType { //根据结点类型的两种结构
　　struct { //分支结点
　　　int num; //本结点关键码个数
　　　TrieNode *link[27]; //指针数组
　　} brch;
　　struct { //元素结点
　　　KeyType key; //关键码
　　　recordNode *recptr; //指向数据对象指针
　　} elem;
　}
}

class Trie { //Trie树的类定义
private:
　TrieNode *root, *current;
public:
　RecordNode* Search ( const keyType & );
　int Insert ( const KeyType & );
　int Delete ( const KeyType & );
}

10.3.2 Trie树的搜索

为了在Trie树上进行搜索，要求把关键码分解成一些字符元素, 并根据这些字符向下进行分支。

函数 Search 设定 current = NULL, 表示不指示任何一个分支结点, 如果 current 指向一个元素结点 elem，则 current→elem.key 是 current 所指结点中的关键码。

Trie树的搜索算法：

RecordNode* Trie::Search ( const KeyType & x ) {
　k = x.key;
　concatenate ( k, ‘b’ );
　current = root;
　int i = 0; //扫描初始化
　while ( current != NULL && current→NodeType != element && i <= x.ch[i] ) {
　　current = current→brch.link[ord (x.ch[i])];
　　i = i++;
　};
　if ( current != NULL && current→NodeType == element && current→elem.key == x )
　　return current→recptr;
　else
　　return NULL;
}

经验证，Trie树的搜索算法在最坏情况下搜索的时间代价是 O(l)。其中, l 是Trie树的层数(包括分支结点和元素结点在内)。

在用作索引时，Trie树的所有结点都驻留在磁盘上。搜索时最多做 l 次磁盘存取。

当结点驻留在磁盘上时，不能使用C++的指针 (pointer) 类型, 因为C++不允许指针的输入 / 输出。在结点中的 link 指针可改用整型(integer) 实现。

10.3.3 在Trie树上的插入和删除

示例：插入关键码bobwhite和bluejay。
a. 插入 x = bobwhite 时，首先搜索Trie树寻找 bobwhite 所在的结点。
b. 如果找到结点, 并发现该结点的 link[‘o’] = NULL。x不在Trie树中, 可以在该处插入。插入结果参看图。
c. 插入 x = bluejay时，用Trie树搜索算法可找到包含有 bluebird 的元素结点，关键码bluebird 和 bluejay 是两个不同的值，它们在第5个字母处不匹配。从 Trie树沿搜索路径，在第4层分支。插入结果参看图。

在Trie树上插入bobwhite和bluejay后的结果 ：

示例：考虑在上图所示Trie树中删除bobwhite。此时，只要将该结点link[‘o’]置为0 (NULL)即可，Trie树的其它部分不需要改变。

考虑删除 bluejay。删除之后在标记为δ3 的子Trie树中只剩下一个关键码，这表明可以删去结点δ3 ，同时结点 ρ 向上移动一层。对结点δ2 和δ1 可以做同样的工作，最后到达结点б。因为以б 为根的子Trie树中有多个关键码，所以它不能删去，令该结点link[‘l’] = ρ即可。

为便于Trie树的删除, 在每个分支结点中设置了一个 num 数据成员，它记载了结点中子女的数目。

Trie,又称单词查找树,是一种树形结构，用于保存大量的字符串。它的优点是：利用字符串的公共前缀来节约存储空间。

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性质

它有3个基本性质：

1. 根节点不包含字符，除根节点外每一个节点都只包含一个字符。
2. 从根节点到某一节点，路径上经过的字符连接起来，为该节点对应的字符串。
3. 每个节点的所有子节点包含的字符都不相同。

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例子

这是一个Trie结构的例子：

 

在这个Trie结构中，保存了t、to、te、tea、ten、i、in、inn这8个字符串，仅占用8个字节（不包括指针占用的空间）。