Necklace of Beads--POJ 1286

1、题目类型：Polya定理、组合数学、置换群。

2、解题思路：Polya定理：（1）设G是p个对象的一个置换群，用k种颜色突然这p个对象，若一种染色方案在群G的作用下变为另一种方案，则这两个方案当作是同一种方案，这样的不同染色方案数为：；

（2）置换及循环节数的计算方法:对于有n个位置的手镯，有n种旋转置换和n种翻转置换.
                                          对于旋转置换: c(fi) = gcd(n,i)  i为一次转过i颗宝石（ i = 0 时 c=n;）;
                                          对于翻转置换:如果n为偶数：c(f) = n/2 的置换有n/2个; 
                                                                            c(f) = n/2+1 的置换有n/2个;
                                                           如果n为奇数：c(f) = n/2+1.

3、注意事项：注意对于翻转置换过程中对于奇偶数情况的区分处理。

4、实现方法:

  
    

   
     
   
     #include
   
     <
   
     iostream
   
     >
   
     
#include
   
     <
   
     math.h
   
     >
   
     

   
     using
   
      
   
     namespace
   
      std;


   
     int
   
      Gcd(
   
     int
   
      a,
   
     int
   
      b)
{
 
   
     return
   
      b
   
     ?
   
     Gcd(b,a
   
     %
   
     b):a;
}


   
     double
   
      Polgy(
   
     int
   
      n)
{
 
   
     int
   
      i;
 
   
     double
   
      sum
   
     =
   
     0
   
     ,tmp;
 
   
     if
   
     (n
   
     ==
   
     0
   
     )
 
   
     return
   
      
   
     0
   
     ;
 
   
     //
   
     旋转置换的情况
   
     

   
      
   
     for
   
     (i
   
     =
   
     1
   
     ;i
   
     <=
   
     n;i
   
     ++
   
     )
 {
 tmp
   
     =
   
     Gcd(i,n);
 sum
   
     +=
   
     pow(
   
     3.0
   
     ,Gcd(i,n));
 }
 
   
     //
   
     翻转置换的情况
   
     

   
      
   
     if
   
     (n
   
     %
   
     2
   
     ==
   
     0
   
     )
 {
 sum
   
     +=
   
     pow(
   
     3.0
   
     ,n
   
     /
   
     2
   
     +
   
     1
   
     )
   
     *
   
     n
   
     /
   
     2
   
     ;
 sum
   
     +=
   
     pow(
   
     3.0
   
     ,n
   
     /
   
     2
   
     )
   
     *
   
     n
   
     /
   
     2
   
     ;
 }
 
   
     else
   
     
 {
 sum
   
     +=
   
     pow(
   
     3.0
   
     ,n
   
     /
   
     2
   
     +
   
     1
   
     )
   
     *
   
     n;
 }
 
   
     return
   
      sum
   
     /
   
     2
   
     /
   
     n;
}


   
     int
   
      main()
{
 
   
     int
   
      n;
 
   
     while
   
     (cin
   
     >>
   
     n 
   
     &&
   
      n
   
     !=-
   
     1
   
     )
 {
 cout
   
     <<
   
     (
   
     int
   
     )Polgy(n)
   
     <<
   
     endl;
 }
}