CodeForces 185A 快速幂

　　一开始找矩阵快速幂的题来做时就看到了这题，题意就是让你求出如图所示的第n个三角形中指向向上的小三角形个数。从图中已经很容易看出递推关系了，我们以f[n]表示第n个大三角形中upward的小三角形个数，g[n]表示第n个大三角形中downward的小三角形个数，然后，递推关系就是：

　　f[n]= 3*f[n-1]+1*g[n-1];　　　　　　　　(1)

　　g[n]= 3*g[n-1]+1*f[n-1];　　　　　　　  (2)

其中f[0]= 1，g[0]= 0（一开始的纯三角形是从n=0开始的），然后……就没有然后了，直觉上感觉f[n]很难表示成只含有f[i]的式子，一时没想到该如何再和矩阵联系起来了（实际上两个不同的变量还是能构造出矩阵出来的：[ f(n), g(n) ]^T= [ [3,1], [1,3] ]^T * [ f(n-1), g(n-1) ]^T 即可，该矩阵就是 [ [3,1], [1,3] ]^T，在这里写矩阵毕竟很不方便，自己在草稿纸上写出来看看吧，更直观），当时一时脑子发热没往这个方向去想，于是便转向了第二个思路。

　　（现在回来补充一点点，其实由以上两个式子也可以推出 f[n]的方程来了：(1)+(2) 得到 f[n]+g[n]= 4*(f[n-1]+g[n-1])，因为f[1]=3，g[1]=1，f[1]+g[1]=4，所以f[n]+g[n]= 4ⁿ；同理，(1)-(2) 得到 f[n]-g[n]= 2*(f[n-1]-g[n-1])，f[1]-g[1]= 3-1=2，故f[n]+g[n]= 2ⁿ，所以 f[n]= ( (f[n]+g[n])+ (f[n]-g[n]) ) /2= (4ⁿ+2ⁿ)/2= (2ⁿ+1)*2^n-1，和下面看图思考出的相同 ）

　　我再次观察了图发现它的确很有规律，无论是f[n]还是g[n]都是 1+2+3+……+k 的和嘛，k就是大三角形的层数，而层数也很有规律，第n个三角形的层数是前一个的两倍（也不难看出，因为每个子三角形每次都划分为两层），所以k= 2ⁿ，所以f[n]= (1+2ⁿ)*2^n-1，g[n]也很容易表示出来，不过此时已经不需要g[n]了，之后，便是一个简简单单的裸快速幂即可！

 1 #include<cstdio>
 2 typedef long long LL;
 3 const LL mod= 1000000007;
 4 
 5 LL quick_mod(LL a, LL b, LL m){
 6     LL ans= 1;
 7     a%= m;
 8     while(b){
 9         if(b&1)      ans= ans*a%m;
10         a= a*a%m;
11         b>>=1;
12     }
13     return ans;
14 }
15 
16 int main(){
17     LL n;
18     scanf("%I64d",&n);
19     if(!n)    puts("1");
20     else    printf("%I64d\n",(1+quick_mod(2,n,mod))*quick_mod(2,n-1,mod)%mod);
21     return 0;
22 }

　　后来我把输入改成 while(~scanf(....)) 来试了下，也过了，可以看出cf上是单组数据读入的，即便这样用while也行，注意添加好文件结束符EOF即可。

　　水过后，我看着1000000007这个数值觉得用long long来处理好像也是有点浪费了，相乘是会溢出，但相加绝对不会溢出，只是已经很接近 int的上限而已。于是，我装了下B，把快速幂中的相乘改为了相加（同样利用快速幂的原理，二进制处理连续的加），这样，就能避开了long long（虽说节省不了什么资源，但可以训练下处理数据溢出的一些能力。不过在比赛中还是绝对不要这样给自己找麻烦，保险才是最重要的），写好快速乘取模后，却忘了在最后的 (1+2ⁿ)*2^n-1 这里还有一个乘法，所以也调试了一点点时间。

 1 #include<cstdio>
 2 typedef long long LL;
 3 const int mod= 1000000007;
 4 
 5 int quick_mul(int a, int b, int m){
 6     int ans= 0;
 7     a%= m;
 8     while(b){
 9         if(b&1)      ans= (ans+a)%m;
10         a= (a+a)%m;
11         b>>=1;
12     }
13     return ans;
14 }
15 
16 int quick_mod(int a, LL b, int m){
17     int ans= 1;
18     a%= m;
19     while(b){
20         if(b&1)      ans= quick_mul(ans,a,m);
21         a= quick_mul(a,a,m);
22         b>>=1;
23     }
24     return ans;
25 }
26 
27 int main(){
28     LL n;
29     while(~scanf("%I64d",&n)){
30         if(!n)    puts("1");
31         else {
32             int tmp1= quick_mod(2,n-1,mod);
33             int tmp2= tmp1*2%mod;
34             printf("%d\n",quick_mul((1+tmp2),tmp1,mod));
35         }
36     }
37     return 0;
38 }

　　至此，装逼完成，成功水过。