[迭代优化]Bellman-Ford最短路径算法

【原理】

这个算法也是求最短路径时常用的算法，但由于其复杂度为O（EV）其中E、V分别为边的总数和顶点的总数。

如果当为稠密图时，E也是O（V^2）的级别，因此整体复杂度会达到O（E^3）。如果是稀疏图，则无法达到使用优先队列的Dijkstra算法的O（E*logV）。因此，Bellman-Ford算法更适合于稠密图。

但是它相比Dijkstra算法更好的一点就是，它能够处理带有负权值的边。但是依然无法处理负权值的回路，如果遇到的话会检测到，从而退出程序。

算法思想如下：

Bellman-Ford算法能在更普遍的情况下（存在负权边）解决单源点最短路径问题。对于给定的带权（有向或无向）图 G=（V,E），其源点为s，加权函数w是边集E的映射。对图G运行Bellman- Ford算法的结果是一个布尔值，表明图中是否存在着一个从源点s可达的负权回路。若不存在这样的回路，算法将给出从源点s到图G的任意顶点v的最短路径d[v]。

Bellman- Ford算法流程分为三个阶段：
（1）初始化：将除源点外的所有顶点的最短距离估计值 d[v] ←+∞, d[s] ←0 ;
（2）迭代求解：反复对边集E中的每条边进行松弛操作，使得顶点集V中的每个顶点v的最短距离估计值逐步逼近其最短距离；（运行|v|- 1次）
（3）检验负权回路：判断边集E中的每一条边的两个端点是否收敛。如果存在未收敛的顶点，则算法返回false，表明问题无解；否则算法返回true，并且从源点可达的顶点v的最短距离保存在 d[v]中。

大致的证明如下：

首先指出，图的任意一条最短路径既不能包含负权回路，也不会包含正权回路，因此它最多包含|v|-1条边。

其次，从源点s可达的所有顶点如果 存在最短路径，则这些最短路径构成一个以s为根的最短路径树。Bellman-Ford算法的迭代松弛操作，实际上就是按顶点距离s的层次，逐层生成这棵最短路径树的过程。

在对每条边进行1遍松弛的时候，生成了从s出发，层次至多为1的那些树枝。也就是说，找到了与s至多有1条边相联的那些顶点的最短路径；对每条边进行第2遍松弛的时候，生成了第2层次的树枝，就是说找到了经过2条边相连的那些顶点的最短路径……。因为最短路径最多只包含|v|-1 条边，所以，只需要循环|v|-1 次。

每实施一次松弛操作，最短路径树上就会有一层顶点达到其最短距离，此后这层顶点的最短距离值就会一直保持不变，不再受后续松弛操作的影响。（但是，每次还要判断松弛，这里浪费了大量的时间，怎么优化？单纯的优化是否可行？）

如果没有负权回路，由于最短路径树的高度最多只能是|v|-1，所以最多经过|v|-1遍松弛操作后，所有从s可达的顶点必将求出最短距离。如果 d[v]仍保持 +∞，则表明从s到v不可达。

如果有负权回路，那么第 |v|-1 遍松弛操作仍然会成功，这时，负权回路上的顶点不会收敛。

【代码】

算法伪代码如下：

Bellman-Ford(G,w,s) ：boolean   //图G ，边集 函数 w ，s为源点
1        for each vertex v ∈ V（G） do        //初始化 1阶段
2             d[v] ←+ ∞
3         d[s] ←0;                             //1阶段结束

4        for i=1 to |v|-1 do               //2阶段开始，双重循环。
5           for each edge（u,v） ∈E(G) do //边集数组要用到，穷举每条边。
6               If d[v]> d[u]+ w(u,v) then      //松弛判断
7                  d[v]=d[u]+w(u,v)               //松弛操作    2阶段结束

8        for each edge（u,v） ∈E(G) do
9             If d[v]> d[u]+ w(u,v) then
10             Exit false

11     Exit true

算法的具体实现如下（给出了主要函数和定义）：

#define N

typedef struct
{
    int src, dst, len;
} edge[N];

//the current shortest distance
int dis[N];

// v is the number of vertices
//e is the number of edges
bool bellman_ford(int src)
{
    for (int i = 0; i < v; ++ i)
         dis[i] = INT_MAX;
     dis[src] = 0 ;
    
    //relax
    for (int i = 1; i < v; ++ i)
        for (int j = 0; j < e; ++ j)
            if (dis[edge[j].src] != INT_MAX &&
                 dis[edge[j].dst] > dis[edge[j].src] + edge[j].len)
                 dis[edge[j].dst] = dis[edge[j].src] + edge[j].len;
    
    //if there is negative cycle
    for (int i = 0; i < e; ++ i)
        if (dis[edge[i].src] != INT_MAX &&
             dis[edge[i].dst] > dis[edge[i].src] + edge[i].len)
            return false ;

    return true ;
}

另外的算法优化的方法（包括SPFA）可以见下面的链接：

http://hi.baidu.com/jzlikewei/blog/item/94db7950f96f995a1038c2cd.html

http://hi.baidu.com/jzlikewei/blog/item/5343d134b54c6f48251f14cd.html