343. 整数拆分
给定一个正整数 n
,将其拆分为 k
个 正整数 的和( k >= 2
),并使这些整数的乘积最大化。
返回 你可以获得的最大乘积 。
1.确定dp数组(dp table)以及下标的含义
dp[i]:分拆数字i,可以得到的最大乘积为dp[i]。
2.确定递推公式
可以想 dp[i]最大乘积是怎么得到的呢?
其实可以从1遍历j,然后有两种渠道得到dp[i].
一个是j * (i - j) 直接相乘。
一个是j * dp[i - j],相当于是拆分(i - j),
那么从1遍历j,比较(i - j) * j和dp[i - j] * j 取最大的。递推公式:dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
那么在取最大值的时候,为什么还要比较dp[i]呢?
因为在递推公式推导的过程中,每次计算dp[i],取最大的而已。
3.dp的初始化
严格从dp[i]的定义来说,dp[0] dp[1] 就不应该初始化,也就是没有意义的数值。
拆分0和拆分1的最大乘积是多少?这是无解的。
初始化dp[2] = 1,从dp[i]的定义来说,拆分数字2,得到的最大乘积是1,这个没有任何异议!
4.确定遍历顺序
确定遍历顺序,先来看看递归公式:dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
dp[i] 是依靠 dp[i - j]的状态,所以遍历i一定是从前向后遍历,先有dp[i - j]再有dp[i]。
5.举例推导dp数组
举例当n为10 的时候,dp数组里的数值,如下
public int integerBreak(int n) {
int[] dp = new int[n + 1];
dp[2]=1;
for (int i = 3; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= i/2; j++) {
dp[i] = Math.max(dp[i], Math.max(j * dp[i - j], j*(i-j)));
}
}
return dp[n];
}
96. 不同的二叉搜索树
给你一个整数 n
,求恰由 n
个节点组成且节点值从 1
到 n
互不相同的 二叉搜索树 有多少种?返回满足题意的二叉搜索树的种数。
1.确定dp数组(dp table)以及下标的含义
dp[i] : 1到i为节点组成的二叉搜索树的个数为dp[i]。
也可以理解是i个不同元素节点组成的二叉搜索树的个数为dp[i]
2.确定递推公式
dp[i] += dp[以j为头结点左子树节点数量] * dp[以j为头结点右子树节点数量]
j相当于是头结点的元素,从1遍历到i为止。
递推公式:dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j]; ,j-1 为j为头结点左子树节点数量,i-j 为以j为头结点右子树节点数量
3.dp数组如何初始化
只需要初始化dp[0]就可以了,推导的基础,都是dp[0]。初始化dp[0] = 1
4.确定遍历顺序
首先一定是遍历节点数,从递归公式:dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j]可以看出,节点数为i的状态是依靠 i之前节点数的状态。
那么遍历i里面每一个数作为头结点的状态,用j来遍历。
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= i; j++) {
dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j];
}
}
5.举例推导dp数组
public int numTrees(int n) {
int[] dp = new int[n + 1];
dp[0] = 1;
dp[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= i ; j++) {
dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j];
}
}
return dp[n];
}