【三维点云处理】PCA主成分析＋实践(一)

PCA简介

PCA 旨在找到线性不相关的正交轴，也称为m维空间中的主成分 (PC)，以将数据点投影到这些 PC 上。第一个 PC 捕获数据中的最大差异。让我们通过将 PCA 拟合到二维数据矩阵上来直观地理解 PCA，可以方便地用二维散点图表示：

由于所有 PC 相互正交，我们可以使用二维空间中的一对垂直线作为两个 PC。为了使第一台 PC 捕获最大的方差，我们旋转了我们的一对 PC 以使它们中的一个与数据点的分布最佳对齐。接下来，所有数据点都可以投影到 PC 上，它们的投影（PC1 上的红点）本质上是数据集的结果降维表示。Viola，我们刚刚将矩阵从二维减少到一维，同时保留了最大的方差！
PC 可以通过协方差矩阵C的特征分解来确定。毕竟，特征分解的几何意义是通过旋转找到C的特征向量的新坐标系。

在上面的等式中，协方差矩阵C (m×m)被分解为特征向量W (m×m)的矩阵和m个特征值Λ的对角矩阵。特征向量，即W中的列向量，实际上是我们正在寻找的 PC。然后我们可以使用矩阵乘法将数据投影到 PC 空间。为了降维，我们可以将数据点投影到前k个PC上作为数据的表示：

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一
二
这个视频讲的真的好

python代码

import open3d as o3d 
import os
import numpy as np
import pandas as pd
from pyntcloud import PyntCloud

# 输入：
#     data：点云，Nx3的矩阵
#     correlation：区分np的cov和corrcoef，不输入时默认为False
#     sort: 特征值排序，排序是为了其他功能方便使用，不输入时默认为True
# 输出：
#     eigenvalues：特征值
#     eigenvectors：特征向量

def PCA(data, correlation=False, sort=True):

    X = np.asarray(data).T
    X_mean = np.mean(X,axis=1).reshape(3,1)
    X_head = X - X_mean
    H = X_head.dot(X_head.T)
    eigenvalues,eigenvectors = np.linalg.eig(H)

    if sort:
        sort = eigenvalues.argsort()[::-1]
        eigenvalues = eigenvalues[sort]
        eigenvectors = eigenvectors[:, sort]
    return eigenvalues, eigenvectors
```handlebars
def main():

    # 加载txt格式原始点云
    points = pd.read_csv("D:/pointcloudmoudel/xyz2.txt")
    points = points.iloc[:,0:3]
    points.columns = ["x","y","z"]
    point_cloud_pynt = PyntCloud(points)
    point_cloud_o3d = point_cloud_pynt.to_instance("open3d", mesh=False)
    o3d.visualization.draw_geometries([point_cloud_o3d]) # 显示原始点云

    # 从点云中获取点，只对点进行处理
    points = point_cloud_pynt.points
    print('total points number is:', points.shape[0])

    # 用PCA分析点云主方向
    w, v = PCA(points)
    point_cloud_vector = v[:, 0] #点云主方向对应的向量
    print('the main orientation of this pointcloud is: ', point_cloud_vector)
    # 绘制三个主方向
    line_set = o3d.geometry.LineSet()
    line_set.points = o3d.utility.Vector3dVector([np.mean(points, axis=0), np.mean(points, axis=0) + v[:, 2], np.mean(points, axis=0) + v[:, 1], np.mean(points, axis=0) + v[:, 0]])
    line_set.lines = o3d.utility.Vector2iVector([[0, 1], [0, 2], [0, 3]])
    line_set.colors = o3d.utility.Vector3dVector([[0, 0, 1], [0, 1, 0], [1, 0, 0]])
    o3d.visualization.draw_geometries([point_cloud_o3d, line_set])
    
    # 循环计算每个点的法向量
    pcd_tree = o3d.geometry.KDTreeFlann(point_cloud_o3d)
    normals = []
    for point in point_cloud_o3d.points:
        [k, idx, _] = pcd_tree.search_knn_vector_3d(point, knn=50)
        w,v = PCA(points.iloc[idx,:])
        normals.append(v[:,2])

    normals = np.array(normals, dtype=np.float64)
    # TODO: 此处把法向量存放在了normals中
    point_cloud_o3d.normals = o3d.utility.Vector3dVector(normals)
    o3d.visualization.draw_geometries([point_cloud_o3d]，point_show_normals=True)
   

if __name__ == '__main__':
    main()

实验结果

total points number is: 48445
the main orientation of this pointcloud is: [ 0.8283824 -0.55965084 0.02395068]

原始图

PCA主方向

显示法向量

C++版本过几天写
另外CloudCompare对于学习点云的新手可以下载对点云进行操作。