高中奥数 2021-07-27

2021-07-27-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数论 余红兵 同余 P035 例1）

设、、、为正整数,证明:被整除.

证明

由于,下面将分别证明被、、整除,由此便证得了结论.

首先证明.

由,可知.从而

.

类似地,由,可知,从而.于是.

最后,由,可知,故.

这就证明了我们的结论.

2021-07-27-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数论 余红兵 同余 P035 例2）

设整数、、满足,记.证明:不是素数.

证明

有一个非平凡的固定约数.

首先,对任意整数,数与的奇偶性相同,即,故,即.

此外,对任意整数,易于验证

.(*)

由此推出.

因此.

故,从而不是素数.

2021-07-27-03

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数论 余红兵 同余 P036 例3）

设整数、、满足

,

证明:被整除.

证明

反证法,首先设、、中恰有两个数模同余,无妨设,但.此时,而,于是的左边,但右边,矛盾.

故这种情形不会出现其次设、、模的余数互不相同,此时易知,但,从而两边模的余数不同,矛盾.

综上,、、两两模同余,即,,,所以,即被整除.

2021-07-27-04

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数论 余红兵 同余 P036 例4）

设,证明:不是完全平方数.

证明

反证法,设有某个及整数,使得

.(*)

由(*)可知是奇数.进一步,因,故.但

.

只能被整除,而不被整除,即(*)的左边,矛盾!

2021-07-27-05

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数论 余红兵 同余 P037 例5）

用数码、、、、、、作七位数,每个数码恰用一次.证明:这些七位数中没有一个是另一个的倍数.

证明

假设有这样两个七位数使得

,(*)

其中为大于的整数.由于、的数码之和均是,故.

现在将(*)模,得出.但,故,这样,,与是七位数矛盾.

2021-07-27-06

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数论 余红兵 同余 P037 例6）

数列为满足递推关系

,.(*)

数列为满足递推关系

,.(**)

证明:这两个数列没有相同的项.

证明

考虑以为模.首先证明,数列模后是一个周期数列

.(***)

因为,.若已有

,,

则由递推公式(*),得

,

,

这就归纳证明了我们的断言同样由(**)可证明,数列模后成为周期数列

(****)

由(***)、(****)可见,两个数列与模后无相同项,故这两个数列无相同项.

又因为是递增的,所以决不会等于,这就证明了与无相同项.

2021-07-27-07

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数论 余红兵 同余 P038 例7）

设是给定的正整数,试确定的最小正值,这里、为任意正整数.

解

所求的最小正值是.

为了证明,我们首先注意,由

,

及

.

易推出

.(*)

进一步,我们证明,没有正整数、使得.假设相反,则有

.

上式左边两个因数显然互素,而右边是正整数的次幂,故

,(**)

其中是一个正整数,.将(**)式模,其左边为

,

导出,但由知是大于的奇数,产生矛盾.

综合(*)可见,若,则,且在,时取得等号,这就证明了我们的结论.