2021-07-27-01
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数论 余红兵 同余 P035 例1）
设、、、为正整数,证明:被整除.
证明
由于,下面将分别证明被、、整除,由此便证得了结论.
首先证明.
由,可知.从而
.
类似地,由,可知,从而.于是.
最后,由,可知,故.
这就证明了我们的结论.
2021-07-27-02
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数论 余红兵 同余 P035 例2）
设整数、、满足,记.证明:不是素数.
证明
有一个非平凡的固定约数.
首先,对任意整数,数与的奇偶性相同,即,故,即.
此外,对任意整数,易于验证
.(*)
由此推出.
因此.
故,从而不是素数.
2021-07-27-03
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数论 余红兵 同余 P036 例3）
设整数、、满足
,
证明:被整除.
证明
反证法,首先设、、中恰有两个数模同余,无妨设,但.此时,而,于是的左边,但右边,矛盾.
故这种情形不会出现其次设、、模的余数互不相同,此时易知,但,从而两边模的余数不同,矛盾.
综上,、、两两模同余,即,,,所以,即被整除.
2021-07-27-04
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数论 余红兵 同余 P036 例4）
设,证明:不是完全平方数.
证明
反证法,设有某个及整数,使得
.(*)
由(*)可知是奇数.进一步,因,故.但
.
只能被整除,而不被整除,即(*)的左边,矛盾!
2021-07-27-05
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数论 余红兵 同余 P037 例5）
用数码、、、、、、作七位数,每个数码恰用一次.证明:这些七位数中没有一个是另一个的倍数.
证明
假设有这样两个七位数使得
,(*)
其中为大于的整数.由于、的数码之和均是,故.
现在将(*)模,得出.但,故,这样,,与是七位数矛盾.
2021-07-27-06
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数论 余红兵 同余 P037 例6）
数列为满足递推关系
,.(*)
数列为满足递推关系
,.(**)
证明:这两个数列没有相同的项.
证明
考虑以为模.首先证明,数列模后是一个周期数列
.(***)
因为,.若已有
,,
则由递推公式(*),得
,
,
这就归纳证明了我们的断言同样由(**)可证明,数列模后成为周期数列
(****)
由(***)、(****)可见,两个数列与模后无相同项,故这两个数列无相同项.
又因为是递增的,所以决不会等于,这就证明了与无相同项.
2021-07-27-07
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数论 余红兵 同余 P038 例7）
设是给定的正整数,试确定的最小正值,这里、为任意正整数.
解
所求的最小正值是.
为了证明,我们首先注意,由
,
及
.
易推出
.(*)
进一步,我们证明,没有正整数、使得.假设相反,则有
.
上式左边两个因数显然互素,而右边是正整数的次幂,故
,(**)
其中是一个正整数,.将(**)式模,其左边为
,
导出,但由知是大于的奇数,产生矛盾.
综合(*)可见,若,则,且在,时取得等号,这就证明了我们的结论.