证明能被11整除的数的特征

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重新简化文字，公式通用化，优化排版。看不懂通用公式可以先看例子。

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能被11整除的数有两个特征：

1. 奇数位的数字之和 减 偶数位的数字之和能被11整除。

2. 从右往左，每两个数分成一组，各组数之和能被11整除。

下面依次证明。

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1. 求证：一个数如果能被11整除，具有如下特征，奇数位的数字之和与偶数位的数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。

证明：
注意到下列事实：
一、99，9999，……，偶数位纯9数必能被11整除；
二、1001，100001，……，中间的0的个数为偶数的10……01必能被11整除。

例子（以五位数为例）：

因为能被11整除，所以，只要能被11整除，原五位数就能被11整除，也就是：奇数位的数字之和与偶数位的数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。

通用公式：

设n为偶数，则

其中每一项都能被11整除，因此，要s能被整除，需要能被11整除，证毕。

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2. 求证：一个多位数从右边开始，每两位为一组分成若干组。如果这些两位数（十位数字可以为0）的和能被11整除，那么原多位数能被11整除。

证明：
以七位数为例，将七位数从右边开始，每两位为一组，分成四组，也就是四个两位数串（即首位数字可以为0）： a、b、c、d．
则原七位数可表示成：

因为能被11整除，所以，只要能被11整除，原七位数就能被11整除。
也就是：如果这些两位数串（即首位数字可以为0）的和能被11整除，那么原多位数能被11整除。

例如：4055854，
因为04+05+58+54=121能被11整除，所以，4055854能被11整除。

通用公式：

表示最后两位数，个位和十位，表示千位和百位。

其中能被11整除，如果s能被11整除，则也要被11整除。

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