f(x,y) = xy的全微分
如果 f ( x , y ) = x ∗ y f(x,y) = x*y f(x,y)=x∗y，则 d f df df 表示函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) 在 ( x , y ) (x,y) (x,y) 处沿着某个方向 d r ⃗ = ( d x , d y ) d\vec{r}=(dx,dy) dr=(dx,dy) 增加的变化率。根据全微分的定义， d f df df 可以表示为：
d f = ∂ f ∂ x d x + ∂ f ∂ y d y df = \frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial y}dy df=∂x∂fdx+∂y∂fdy
将 f ( x , y ) = x ∗ y f(x,y) = x*y f(x,y)=x∗y 代入上式可得：
d f = y d x + x d y df = ydx + xdy df=ydx+xdy
这个式子可以理解为，当在 ( x , y ) (x,y) (x,y) 点沿着 ( d x , d y ) (dx,dy) (dx,dy) 方向移动一点时， f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) 的增量为 d f df df。
在几何上， d f df df 可以表示为函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) 的梯度向量 ∇ f \nabla f ∇f 在 ( x , y ) (x,y) (x,y) 点处与 d r ⃗ = ( d x , d y ) d\vec{r}=(dx,dy) dr=(dx,dy) 的点积，即：
d f = ∇ f ⋅ d r ⃗ df = \nabla f \cdot d\vec{r} df=∇f⋅dr
因此， d f df df 的几何意义是函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) 在 ( x , y ) (x,y) (x,y) 点处沿着 d r ⃗ d\vec{r} dr 方向的变化率。
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