信号与系统复习笔记

信号与系统复习笔记

线性时不变系统

推导CT-LTI卷积积分

假设输入函数为 $x(t)$ ，输出为 $y(t)$ ，考虑对应变换 $T\{x(t)\}=y(t)$ ，通过冲激函数可将 $x(t)$ 表示为：

$$x(t)={\int }_{-\infty }^{+\infty }x(\tau )\delta (t-\tau )d\tau =x(t)\ast \delta (t)$$

对两边同时做变换 $T$ 得到：

$$T\{x(t)\}=T\{{\int }_{-\infty }^{+\infty }x(\tau )\delta (t-\tau )d\tau \}$$

利用LTI的 线性性质 可以得到：

$$y(t)={\int }_{-\infty }^{+\infty }T\{x(\tau )\delta (t-\tau )\}d\tau$$

$$y(t)={\int }_{-\infty }^{+\infty }x(\tau )T\{\delta (t-\tau )\}d\tau$$

利用LTI的 时不变性 可以得到：

$$y(t)={\int }_{-\infty }^{+\infty }x(\tau )h(t-\tau )d\tau =x(t)\ast h(t)$$

这里记 $h(t)$ 为系统的 零状态 状态下的单位冲激函数的响应。

推导DT-LTI卷积积分

同理CT-LTI卷积积分可得：

$$y[n]=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }x[k]h[n-k]=x[n]\ast h[n]$$

LTI系统的性质

性质	公式
交换律	$x(t)\ast h(t)=h(t)\ast x(t)$
分配律	$x(t)\ast [h_1(t)+h_2(t)]=x(t)\ast h_1(t)+x(t)\ast h_2(t)$
结合律	$x(t)\ast [h_1(t)\ast h_2(t)]=[x(t)\ast h_1(t)]\ast h_2(t)$
记忆性	若对于所有的 $t\ne 0$ 有 $h(t)=0$ 那么系统是无记忆的
可逆性	若存在 $h_1(t)$ 使得 $h(t)\ast h_1(t)=\delta (t)$ 那么系统是可逆的
因果性	若对于所有的 $t<0$ 有 $h(t)=0$ 那么系统是因果的
稳定性	若单位冲激响应是绝对可积（和）的 ${\int }_{-\infty }^{+\infty }|h(t)|dt<\infty$ 那么系统是稳定的
阶跃响应	$s(t)={\int }_{-\infty }^{t}h(t)dt$

求解CT线性常系数微分方程

一类极为重要的LTI系统可以用关于输入和输出的线性常系数微分方程表示，即具有如下N阶线性常系数微分方程的形式：

$$\sum _{k=0}^N{a}_k\frac{d^{k}y(t)}{d{t}^k}=\sum _{k=0}^M{b}_k\frac{d^{k}x(t)}{d{t}^k}$$

N阶指的是 $y(t)$ 的最高阶导数。

系统在 $t=0$ 时刻输入为 $x(t)$ 的 全响应 的形式为：

$$y(t)=y_{zi}(t)+y_{zs}(t)$$

首先求解系统的 零输入响应 $y_{zi}(t)$ ，即方程：

$$\sum _{k=0}^N{a}_k\frac{d^{k}y(t)}{d{t}^k}=0$$

这是线性齐次常系数微分方程，对于一个二阶线性齐次常系数微分方程 $y^{\prime \prime }(t)+p{y}^{\prime }(t)+qy(t)=0$ 来说，其特征方程为：

$$r^2+pr+q=0$$

特征方程有两个解（可能为复数）为 $r_1$ 和 $r_2$，则有：

$$y_{zi}=(C_1{e}^{r_{1}x}+C_2{e}^{r_{2}x})u(t)$$

其中 $C_1$ 和 $C_2$ 由系统在 $t=-0$ 时刻的初始条件构成。

对于一个一阶线性齐次常系数微分方程 $y^{\prime }(t)+py(t)=0$ 来说，其特征方程为：

$$r+p=0$$

则 $r_1=-p$，则有：

$$y_{zi}=C_1{e}^{r_{1}x}=(C_1{e}^{-px})u(t)$$

其中 $C_1$ 由系统在 $t=-0$ 时刻的初始条件构成。

接下来求解零状态响应，可以使用卷积积分求解，首先我们求解系统在零状态响应的单位冲激响应 $h(t)$ ，可以使用Delta函数匹配法。

Delta函数匹配法的精髓在于，系统只在 $t=0$ 的时候有一个冲激输入，在 $t>0$ 的时候没有输入，此时可以看做是零输入响应，求得 $h(+0),h^{\prime }(+0),h^{\prime \prime }(+0),\dots$ 的初始条件是简单的，因此我们可以先求初始条件，最后带入零输入响应，求得系统的冲激响应。

求得冲激响应 $h(t)$ 之后，可以通过 $y_{zs}=x(t)\ast h(t)$ 求得零状态响应。

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例题：求解系统 $y^{\prime \prime }(t)+y^{\prime }(t)+y(t)=x^{\prime }(t)+x(t)$ 在初始条件下，求其在 $t\ge 0$ 零输入响应和零状态下的单位冲激响应，以及在输入 $x(t),t\ge 0$ 下的全响应。

零输入的系统方程为 $y^{\prime \prime }(t)+y^{\prime }(t)+y(t)=0$ ，特征方程为 $r^2+r+1=0$ ，两个特征解为 $r=-\frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{3}}{2}j$ 。

则系统的零输入响应方程为：

$$y_{zi}(t)=(C_1{e}^{r_{1}x}+C_2{e}^{r_{2}x})u(t)$$

使用Delta函数匹配法求解其零状态下的单位冲激在 $-0\le t\le +0$ 下的冲激响应表达式，我们仅考虑在该处的间断函数，因为不间断函例如 $r(t)=tu(t)$ 在该点函数值为零，因为 $h^{\prime \prime }(t)+h^{\prime }(t)+h(t)={\delta }^{\prime }(t)+\delta (t)$ 因此 $h^{\prime \prime }(t)$ 有最高项 ${\delta }^{\prime }(t)$ ，我们假设：

$$h^{\prime \prime }(t)=a{\delta }^{\prime }(t)+b\delta (t)+cu(t)$$

$$h^{\prime }(t)=a\delta (t)+bu(t)$$

$$h(t)=au(t)$$

带入得到：

$$a{\delta }^{\prime }(t)+(a+b)\delta (t)+(a+b+c)u(t)={\delta }^{\prime }(t)+\delta (t)$$

解得 $a=1,b=0,c=-1$ 。考虑下面的初始条件表达式：

$$h^{\prime \prime }(+0)-h^{\prime \prime }(-0)=-1,h^{\prime }(+0)-h^{\prime }(-0)=0,h(+0)-h(-0)=1$$

并且由于是零状态响应，因此 $h^{\prime \prime }(-0)=0,h^{\prime }(-0)=0,h(-0)=0$ 。得到初始条件：

$$h^{\prime \prime }(+0)=-1,h^{\prime }(+0)=0,h(+0)=1$$

解得系统在 $t>0$ 时候的响应为：

$$h(t)=u(t)[(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{6}j)e^{r_{1}x}+(\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{3}}{6}j)e^{r_{2}x}]$$

其中 $r_1=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}j$ 。

写成闭式的形式为：

$$h(t)=u(t)[(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{6}j)e^{r_{1}x}+(\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{3}}{6}j)e^{r_{2}x}]$$

则 $y_{zs}(t)=h(t)\ast x(t)$ ，最终 $y(t)=y_{zi}(t)+y_{zs}(t)$ 。

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奇异函数

恒等函数：

$${\int }_{-\infty }^{+\infty }x(t)\delta (t)dt=x(0)$$

$$x(t)\delta (t)=x(0)\delta (t)$$

微分器：

$$x(t)=x(t)\ast \delta (t),x^{\prime }(t)=x(t)\ast {\delta }^{\prime }(t),x^{\prime \prime }(t)=x(t)\ast {\delta }^{\prime \prime }(t)$$

因此

$${\delta }^{\prime \prime }(t)={\delta }^{\prime }(t)\ast {\delta }^{\prime }(t),{\delta }^{(n)}(t)={\delta }^{\prime }(t)\ast {\delta }^{\prime }(t)\ast {\dots }_n$$

$${\int }_{-\infty }^{+\infty }x(t){\delta }^{\prime }(t)dt=-x^{\prime }(0)$$

积分器：

$$x(t)\ast u(t)={\int }_{-\infty }^{t}x(t)dt$$

周期信号的傅里叶级数表示

特征函数

假设LTI系统的输入为 $x(t)=e^{st}$ 输出为：

$$y(t)=e^{st}\ast h(t)={\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{s(t-\tau )}h(\tau )d\tau =e^{st}{\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-s\tau }h(\tau )d\tau =x(t)H(s)$$

定义LTI系统的特征函数为：

$$H(s)={\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-s\tau }h(\tau )d\tau$$

CT周期函数的傅里叶级数表示

对于周期函数 $x_T(t)$ 来说，周期为 $T$ ，角频率为 ${\omega }_0=\frac{2\pi }{T}$ ，那么其傅里叶级数表示的形式为：

$$x_T(t)=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }{a}_k{e}^{jk{\omega }_{0}t},\text{(综合公式)}$$

其中 $a_k$ 为 $x_T(t)$ 的 $k$ 次谐波的傅里叶级数的系数。

其中 $e^{jk{\omega }_{0}t}$ 称为旋转因子，而$e^{-jk{\omega }_{0}t}$ 称为筛选因子，确定傅里叶系数的方法是两边同时乘以系数为 $n$ 的筛选因子：

$$x_T(t)e^{-jn{\omega }_{0}t}=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }{a}_k{e}^{jk{\omega }_{0}t}{e}^{-jn{\omega }_{0}t}$$

同时在一个周期内做积分：

$${\int }_0^T{x}_T(t)e^{-jn{\omega }_{0}t}dt={\int }_0^T\sum _{k=-\infty }^{+\infty }{a}_k{e}^{jk{\omega }_{0}t}{e}^{-jn{\omega }_{0}t}dt=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }{a}_k{\int }_0^T{e}^{j(k-n){\omega }_{0}t}dt$$

对于积分 ${\int }_0^T{e}^{j(k-n){\omega }_{0}t}dt$ 来说，当 $k=n$ 的时候，积分值为 $T$ ，否则等于 $0$ ，也就是：

$${\int }_0^T{x}_T(t)e^{-jn{\omega }_{0}t}dt=T{a}_n$$

即：

$$a_n=\frac{1}{T}{\int }_0^T{x}_T(t)e^{-jn{\omega }_{0}t}dt,\text{(分析公式)}$$

CT的傅里叶级数的性质

性质	周期信号	傅里叶系数
线性	$Ax(t)+By(t)$	$A{a}_k+B{b}_k$
时移	$x(t-t_0)$	$a_k{e}^{-jk{\omega }_0{t}_0}$
频移	$x(t)e^{jM{\omega }_{0}t}$	$a_{k-M}$
共轭	$x^{\ast }(t)$	$a_{-k}^{\ast }$
时间翻转	$x(-t)$	$a_{-k}$
时域尺度变换	$x(\alpha t)$	$a_k(T=T/\alpha )$
周期卷积	${\int }_{T}x(\tau )y(t-\tau )d\tau$	$T{a}_k{b}_k$
相乘	$x(t)y(t)$	${\sum }_{l=-\infty }^{+\infty }{a}_l{b}_{k-l}$
微分	$\frac{dx(t)}{dt}$	$jk{\omega }_0{a}_k$
积分	${\int }_{-\infty }^{t}x(t)dt$	$\frac{1}{jk{\omega }_0}{a}_k$
实信号的共轭对称性	$x(t)$ 为实信号	$a_k=-a_k^{\ast }$
实偶信号	$x(t)$ 为实偶信号	$a_k$ 为实偶函数
实奇信号	$x(t)$ 为实奇信号	$a_k$ 为纯虚奇函数
实信号的奇偶分解	$x_e(t)=Ev\{x(t)\},x_o(t)=Od\{x(t)\}$ 并且 $x(t)$ 为实信号	$\Re \{a_k\},j\Im \{a_k\}$
周期信号的帕瓦尔定理	$x(t)$	$\frac{1}{T}{\int }_T|x(t){|}^{2}dt={\sum }_{k=-\infty }^{+\infty }|a_k{|}^2$

DT周期信号的傅里叶级数表示

定义周期信号的周期为 $N$ ，有 $x[n]=x[n+N]$ 。而 ${\omega }_0=\frac{2\pi }{N}$ 为基波频率。则 $k$ 次谐波转子为：

$${\varphi }_k[n]=e^{jk{\omega }_{0}n}$$

并且，因为再离散时间中， $k$ 和 $n$ 均为整数的话，那么 ${\varphi }_k[n]$ 也为关于 $k$ 周期为 $N$ 的函数，也就是：

$$\varphi [n]={\varphi }_{k+rN}[n]$$

这就是说，周期为 $N$ 的离散时间信号，其傅里叶级数的系数只有 $N$ 个，并且是一个周期为 $N$ 的序列。因此DT周期信号的傅里叶级数表示为：

$$x[n]=\sum _{k=<N>}{a}_k{e}^{jk{\omega }_{o}n},\text{(综合公式)}$$

对于连续的 $N$ 个取值：

$$x[0]=\sum _{k=<N>}{a}_k,x[1]=\sum _{k=<N>}{a}_k{e}^{jk{\omega }_0},\dots ,x[N-1]=\sum _{k=<N>}{a}_k{e}^{jk{\omega }_0(N-1)}$$

这些是 $N$ 个线性独立的方程，可以直接解出 $N$ 个系数的值。若想通过CT同样的方法，有以下的事实：

$$\sum _{n=<N>}{e}^{jk{\omega }_0}n=N(k=0,\pm N,\pm 2N,\dots )$$

否则其他情况下等于 $0$ 。

那么同样的，先乘以关于 $r$ 的提取因子，然后在一个周期中求和：

$$\sum _{n=<N>}x[n]e^{-jr{\omega }_{0}n}=\sum _{n=<N>}\sum _{k=<N>}{a}_k{e}^{j(k-r){\omega }_{0}n}=\sum _{k=<N>}{a}_k\sum _{n=<N>}{e}^{j(k-r){\omega }_{0}n}$$

对于和式 ${\sum }_{n=<N>}{e}^{j(k-r){\omega }_{0}n}$ 当 $k=r+cN$ 的时候，即 $k-r$ 是 $N$ 的整数倍的时候，又因为在一个周期内只有一次 $k-r$ 是 $N$ 的整数倍，且对应 $k=r$ ，于是右边就等于 $N{a}_r$ ，因此：

$$a_r=\frac{1}{N}\sum _{n=<N>}x[n]e^{-jr{\omega }_{0}n},\text{(分析公式)}$$

DT的傅里叶级数的性质

性质	周期信号	傅里叶系数
线性	$Ax[n]+By[n]$	$A{a}_k+B{b}_k$
时移	$x[n-n_0]$	$a_k{e}^{-jk{\omega }_0{n}_0}$
频移	$x[n]e^{jM{\omega }_{0}n}$	$a_{k-M}$
共轭	$x^{\ast }[n]$	$a_{-k}^{\ast }$
时间翻转	$x[-n]$	$a_{-k}$
时域尺度变换	$x_{(m)}[n]=x[n/m]$	$\frac{1}{m}{a}_k(N=Nm)$
周期卷积	${\sum }_{r=<N>}x[r]y[n-r]d\tau$	$N{a}_k{b}_k$
相乘	$x[n]y[n]$	${\sum }_{l=<N>}{a}_l{b}_{k-l}$
一阶差分	$x[n]-x[n-1]$	$(1-e^{-jk{\omega }_0})a_k$
求和	${\sum }_{k=-\infty }^{n}x[k]$	$\frac{1}{(1-e^{-jk{\omega }_0})}{a}_k$
实信号的共轭对称性	$x[n]$ 为实信号	$a_k=-a_k^{\ast }$
实偶信号	$x[n]$ 为实偶信号	$a_k$ 为实偶函数
实奇信号	$x[n]$ 为实奇信号	$a_k$ 为纯虚奇函数
实信号的奇偶分解	$x_e[n]=Ev\{x[n]\},x_o[n]=Od\{x[n]\}$ 并且 $x[n]$ 为实信号	$\Re \{a_k\},j\Im \{a_k\}$
周期信号的帕瓦尔定理	$x[n]$	$\frac{1}{N}{\sum }_{n=<N>}|x[n]{|}^2={\sum }_{k=<N>}|a_k{|}^2$

连续时间傅里叶变换

连续时间非周期的傅里叶表示

假设连续时间的周期信号为 $x_T(t)$ ，对应的单个周期信号为 $x(t)$ ，因为：

$$a_k=\frac{1}{T}{\int }_{-T/2}^{T/2}{x}_T(t)e^{-jk{\omega }_{0}t}dt=\frac{1}{T}{\int }_{-\infty }^{+\infty }x(t)e^{-jk{\omega }_{0}t}dt$$

定义 $T{a}_k$ 的包络函数为：

$$X(j\omega )={\int }_{-\infty }^{+\infty }x(t)e^{-j\omega t}dt,\text{(分析公式)}$$

此时 $a_k$ 可以表示为：

$$a_k=\frac{1}{T}X(jk{\omega }_0)$$

并且：

$$x_T(t)=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }\frac{1}{T}X(jk{\omega }_0)e^{jk{\omega }_{0}t}=\frac{1}{2\pi }\sum _{k=-\infty }^{+\infty }X(jk{\omega }_0)e^{jk{\omega }_{0}t}{\omega }_0$$

接下来进行周期延拓，即 ${\lim }_{T\to \infty }{x}_T(t)=x(t)$ 有：

$$x(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }X(j\omega )e^{j\omega t}d\omega ,\text{(综合公式)}$$

上面两式称为傅里叶变换。

连续时间傅里叶变换的性质

性质	周期信号	傅里叶系数
线性	$Ax(t)+By(t)$	$AX(j\omega )+BY(j\omega )$
时移	$x(t-t_0)$	$X(j\omega )e^{-j\omega t_0}$
频移	$x(t)e^{j{\omega }_{0}t}$	$X(j(\omega -{\omega }_0))$
共轭	$x^{\ast }(t)$	$X^{\ast }(-j\omega )$
时间翻转	$x(-t)$	$X(-j\omega )$
时域尺度变换	$x(\alpha t)$	$\frac{1}{|a|}X(\frac{j\omega }{a})$
周期卷积	$x(t)\ast y(t)$	$X(j\omega )Y(j\omega )$
相乘	$x(t)y(t)$	$\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }X(j\theta )Y(j(\omega -\theta ))d\theta$
时域微分	$\frac{dx(t)}{dt}$	$j\omega X(j\omega )$
时域积分	${\int }_{-\infty }^{t}x(t)dt$	$\frac{1}{j\omega }X(j\omega )+\pi X(0)\delta (\omega )$
频域微分	$tx(t)$	$j\frac{d}{d\omega }X(j\omega )$
实信号的共轭对称性	$x(t)$ 为实信号	$X(j\omega )=X^{\ast }(-j\omega )$
实偶信号	$x(t)$ 为实偶信号	$X(j\omega )$ 为实偶函数
实奇信号	$x(t)$ 为实奇信号	$X(j\omega )$ 为纯虚奇函数
实信号的奇偶分解	$x_e(t)=Ev\{x(t)\},x_o(t)=Od\{x(t)\}$ 并且 $x(t)$ 为实信号	$\Re \{X(j\omega )\},j\Im \{X(j\omega )\}$
周期信号的帕瓦尔定理	$x(t)$	${\int }_{-\infty }^{+\infty }|x(t){|}^{2}dt=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }|X(j\omega ){|}^{2}d\omega$

基本傅里叶变换对

1. 周期信号的傅里叶变换

考虑这样一个信号的傅里叶变换为：

$$X(j\omega )=2\pi \delta (\omega -{\omega }_0)$$

其对应的时域信号为：

$$x(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }2\pi \delta (\omega -{\omega }_0)e^{j\omega t}d\omega =e^{j{\omega }_{0}t}$$

那么通过周期信号的傅里叶系数关系为：

$$X(j\omega )=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }2\pi a_k\delta (\omega -k{\omega }_0)$$

其对应的时域信号为：

$$x(t)=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }{a}_k{e}^{jk{\omega }_{0}t}$$

2. 单边衰减信号

考虑信号 $x(t)=e^{-at}u(t),a>0$ 。其对应的傅里叶变换为：

$$X(j\omega )={\int }_0^{\infty }{e}^{-at}{e}^{-j\omega t}dt=-\frac{1}{a+j\omega }{e}^{-(a+j\omega )t}{|}_0^{\infty }=\frac{1}{a+j\omega }(a>0)$$

3. 双边衰减信号

考虑信号 $x(t)=e^{-a|t|},a>0$ 。其对应的傅里叶变换为：

$$X(j\omega )=\frac{1}{a-j\omega }+\frac{1}{a+j\omega }=\frac{2a}{a^2+{\omega }^2}$$

4. 单位冲激函数的傅里叶变换

单位冲激函数 $x(t)=\delta (t)$ 的傅里叶变换为：

$$X(j\omega )={\int }_{-\infty }^{+\infty }\delta (t)e^{-j\omega t}dt=1$$

5. 矩形脉冲信号的傅里叶变换

考虑一个矩形脉冲信号：

$$x(t)=1,|t|<T_1$$

$$x(t)=0,|t|>T_1$$

其傅里叶变换为：

$$X(j\omega )={\int }_{-T_1}^{T_1}{e}^{j\omega t}dt=2\frac{\sin \omega T_1}{\omega }$$

6. 典型的傅里叶变换对

信号	傅里叶变换	傅里叶级数系数（若是周期信号）
${\sum }_{k=-\infty }^{+\infty }{a}_k{e}^{jk{\omega }_{0}t}$	${\sum }_{k=-\infty }^{+\infty }2\pi a_k\delta (\omega -k{\omega }_0)$	$a_k$
$e^{jk{\omega }_{0}t}$	$2\pi \delta (\omega -k{\omega }_0)$	$a_1=1,a_k=0$
$\cos {\omega }_{0}t$	$\pi [\delta (\omega -{\omega }_0)+\delta (\omega +{\omega }_0)]$	$a_1=a_{-1}=\frac{1}{2},a_k=0$
$\sin {\omega }_{0}t$	$\frac{\pi }{j}[\delta (\omega -{\omega }_0)-\delta (\omega +{\omega }_0)]$	$a_1=-a_{-1}=\frac{1}{2j},a_k=0$
$x(t)=1$	$2\pi \delta (\omega )$	$a_0=1,a_k=0$
周期方波$x(t)=1,|t|<T_1$	${\sum }_{k=-\infty }^{+\infty }\frac{2\sin k{\omega }_0{T}_1}{k}\delta (\omega -k{\omega }_0)$	$\frac{\sin k{\omega }_0{T}_1}{k\pi }$
周期冲激串${\sum }_{n=-\infty }^{+\infty }\delta (t-nT)$	$\frac{2\pi }{T}{\sum }_{k=-\infty }^{+\infty }\delta (\omega -\frac{2\pi k}{T})$	$a_k=\frac{1}{T}$
矩形阶跃函数$x(t)=1,|t|<T_1$	$\frac{2\sin \omega T_1}{\omega }$	-
$\frac{\sin Wt}{\pi t}$	$X(j\omega )=1,|\omega |<W$	-
$\delta (t)$	$1$	-
$u(t)$	$\frac{1}{j\omega }+\pi \delta (\omega )$	-
$\delta (t-t_0)$	$e^{j\omega t_0}$	-
$e^{-at}u(t),\Re a>0$	$\frac{1}{a+j\omega }$	-
$t{e}^{-at}u(t),\Re a>0$	$\frac{1}{(a+j\omega {)}^2}$	-
$\frac{t^{n-1}}{(n-1)!}{e}^{-at}u(t),\Re a>0$	$\frac{1}{(a+j\omega {)}^n}$	-

傅里叶变换与线性常系数微分方程表述的系统

对于线性常系数微分方程描述的系统：

$$\sum _{k=0}^N{a}_k\frac{d^{k}y(t)}{d{t}^k}=\sum _{k=0}^M{b}_k\frac{d^{k}x(t)}{d{t}^k}$$

有卷积关系：

$$y(t)=h(t)\ast x(t)$$

根据傅里叶变换的性质有：

$$Y(j\omega )=H(j\omega )X(j\omega )$$

我们称函数 $H(j\omega )$ 为 系统频响函数 。

对微分方程两边做傅里叶变换：

$$\mathcal{F}\{\sum _{k=0}^N{a}_k\frac{d^{k}y(t)}{d{t}^k}\}=\mathcal{F}\{\sum _{k=0}^M{b}_k\frac{d^{k}x(t)}{d{t}^k}\}$$

根据傅里叶变换的微分性质：

$$\sum _{k=0}^N{a}_k(j\omega {)}^{k}Y(j\omega )=\sum _{k=0}^M{b}_k(j\omega {)}^{k}X(j\omega )$$

可得：

$$H(j\omega )=\frac{Y(j\omega )}{X(j\omega )}=\frac{{\sum }_{k=0}^M{b}_k(j\omega {)}^k}{{\sum }_{k=0}^N{a}_k(j\omega {)}^k}$$