【数据结构•并查集】

【数据结构•并查集】（理论基础）
一、并查集的定义及运算
　　在一些问题中，需要根据给出的各个元素之间的联系，将这些元素分成几个集合，每个集合中的元素直接或间接有联系，在这类问题中主要涉及的是对集合的合并和查找，因此将这种集合称之为并查集。并查集的主要操作有：
　　1、合并两个不相交集合
　　2、判断两个元素是否属于同一个集合
　　3、路径压缩
　　假设有n个不同元素的集合s，这些元素被分成了不相交集合。最初假设每个元素自成一个集合。下面定义一个m次合并（union）和寻找的运算序列，每次执行合并指令后，两个不相交子集合并成一个子集。由观察可知，合并次数最多为n-1次。每个子集中，用一个特殊的元素作为集合的名字或代表。例如集合s={1,2,3,…,11}有4个子集，分别是{1,7,10,11}、{2,3,5,6}、{4，8}、{9}，这些子集被标记为1，3，8，9。寻找运算返回一个包含特定元素的名字。例如运算find(11)返回1，即包含元素11的那个集合的名字1。
　　在程序设计中，并查集可以用树型数据结构来记录，用树来表示每个集合，集合中的元素存贮在节点中，树中除根节点外的每个元素都指向父节p(x)的指针。根有一个空指针，用做集合的名字或集合的代表。这样就产生了一个森林，其中每棵树对应一个集合。

1556645001478328322.bmp
　　假定元素是整数1,2,3,…，则森林可以方便地用数组a[1…n]来表示，a[j]是元素j的父节点，1 <= j <= n,空的父节点可以用0来表示，如上图所示对应的4个集合{1,7,10,11},{2,3,5,6},{4,8},{9}的4棵树，由于元素是整数，用数组表示更为优越。

二、运算的实现
　　设定义两个函数：
　　　　find（x）：寻找并返回包含元素x的集合的名字。
　　　　union（x,y）：包含元素x和y的两个集合用它们的并集替换。并集的名字或者是原来的包含元素x那个集合的名字，或者是原来包含元素y的那个集合的名字。
　　对于任意假定元素x，用root(x)表示包含x的树的根。那么find(x)总是返回root(x)，由于合并运算必须有两棵树的根作为它的参数，我们假定对于任意两个元素x和y，union（x,y）实际上表示union(root(x),root(y))。
　　1、按秩合并
　　合并运算直接实现有一个明显的缺点，就是树的高度变得非常大，大到寻找的运算的时间需要o(n)，在极端的情况下，树可以退化。举例说明：u(1,2),u(2,3),…u(n-1,n)，再执行find(1),find(2)…find(n)，其时间代价就为n+(n-1)+…+1=n^2。为了限制树的高度，采用秩合并措施，给每个节点存贮一个非负数作为节点的秩，记为rank，节点的秩就是它的高度。比如，执行合并运算时union（x,y）时，比较rank(x)和rank(y)
　　　rank(x)

【并查集的应用】家族 vijos 1034
描述 description
　　若某个家族人员过于庞大，要判断两个是否是亲戚，确实还很不容易，现在给出某个亲戚关系图，求任意给出的两个人是否具有亲戚关系。
　　规定：x和y是亲戚，y和z是亲戚，那么x和z也是亲戚。如果x,y是亲戚，那么x的亲戚都是y的亲戚，y的亲戚也都是x的亲戚。

输入输出格式
输入格式：
　　第一行：三个整数n,m,p，（n <= 5000,m <= 5000,p <= 5000），分别表示有n个人，m个亲戚关系，询问p对亲戚关系。以下m行：每行两个数mi，mj，1<=mi，mj<=n，表示mi和mj具有亲戚关系。接下来p行：每行两个数pi，pj，询问pi和pj是否具有亲戚关系。

输出格式：
　　p行，每行一个’Yes’或’No’。表示第i个询问的答案为“具有”或“不具有”亲戚关系。
　　（注：请注意大小写，'Yes’和’No’的第一个字母为大写，其余的均为小写！！）

输入输出样例
输入样例#1：
6 5 3
1 2
1 5
3 4
5 2
1 3
1 4
2 3
5 6

输出样例#1：
Yes
Yes
No

提示信息
　　分析：本题的本质: 判断两个量是否在图的同一个连通块中,因为图太庞大, 因此每次需要遍历，因此采用并查集解本题。