高中奥数 2022-02-07

2022-02-07-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数列与数学归纳法 冯志刚 选择恰当的归纳对象 P081 例05）

在某个罐里有黑、白两种颜色的球各一个,我们另外还有50个白球和50个黑球,下面进行50次操作:随机地取出一个球,然后放入罐中两个与取出的球同色的球作为一次操作.最后在罐中有52个球.问:罐中最有可能有几个白球?

解

我们证明:对任意,罐中出现个白球的概率都是.

将问题一般化,记次操作后,罐中有个白球的概率为

下证:.

当时,上述命题显然成立.设命题对时成立,考虑的情形注意到有如下的递推式成立

这里,其中(递推式是依第次操作前罐中白球数的个数为和分类讨论得到的).

于是,利用(归纳假设),可知,再结合,就可证得.

所以,命题成立.

说明

将命题一般化只是形式,这里是为了利用递推的思想去处理才作出一般化的,思想与内涵决定表现的形式.

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（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数列与数学归纳法 冯志刚 选择恰当的归纳对象 P081 例06）

证明:存在正整数,使得

这里表示自然数在十进制表示下各数码之和.

证明

将命题一般化,用数学归纳法证明如下结论:

对任意,,存在正整数,使得

当时,取,,注意到,故命题对成立.

设命题对成立,并设满足式,考虑的情形.

令,使得,.取正整数,,,则都是位正整数(注意,由的取法,显然对归纳假设中的,均有,故n为位数),并且对均有

而,又由归纳假设及我们的构造,可知.从而命题对也成立.

综上可知,命题成立.

说明

这里式中要求对归纳过渡中找到而言是非常重要的,它是在归纳构造的过程中发现的一个必要的加强.