三种经典博弈（取石子问题）

博弈是有一种很有意思的游戏，就是有物体若干堆，可以是火柴棍或是围棋子等等均可。两个人轮流从堆中取物体若干，规定最后取光物体者取胜。这是我国民间很古老的一个游戏，别看这游戏极其简单，却蕴含着深刻的数学原理。下面我们来分析一下要如何才能够取胜。

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巴什博奕

有一堆 $n$ 个物品，两个人轮流从这堆物品中取物，规定每次至少取一个，最多取 $m$ 个。最后取光者得胜。

显然，如果 $n=m+1$，那么由于一次最多只能取 $m$ 个，所以，无论先取者拿走多少个，后取者都能够一次拿走剩余的物品，后者取胜。

因此我们发现了如何取胜的法则：如果 $n=(m+1)r+s$，（$r$ 为任意自然数，$s\le m$），那么先取者要拿走 $s$ 个物品，如果后取者拿走 $k$（$\le m$）个，那么先取者再拿走 $m+1-k$ 个，结果剩下 $(m+1)(r-1)$ 个，以后保持这样的取法，那么先取者肯定获胜。总之，要保持给对手留下 $(m+1)$ 的倍数，就能最后获胜。

这个游戏还可以有一种变相的玩法：两个人轮流报数，每次至少报一个，最多报十个，谁能报到 $100$ 者胜。

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威佐夫博奕

有两堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆或同时从两堆中取同样多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。

这种情况下是颇为复杂的。我们用 $(a_k,b_k)$ $(a_k\le b_k,k=0,1,2,\dots ,n)$ 表示两堆物品的数量并称其为局势，如果甲面对 $(0,0)$，那么甲已经输了，这种局势我们称为奇异局势。前几个奇异局势是：$(0,0)$、$(1,2)$、$(3,5)$、$(4,7)$、$(6,10)$、$(8,13)$、$(9,15)$、$(11,18)$、$(12,20)$。（统计小规模数据）

可以看出，$a_0=b_0=0$，$a_k$ 是未在前面出现过的最小自然数，而 $b_k=a_k+k$。发现规律，得到猜想。

奇异局势有如下三条性质：

1. 任何自然数都包含在一个且仅有一个奇异局势中。

由于 $a_k$ 是未在前面出现过的最小自然数，所以只需证明 $b_k$ 不会出现在前面的奇异局势中即可。由于 $a_k>a_{k-1}$，而 $b_k=a_k+k>a_{k-1}+(k-1)=b_{k-1}>a_{k-1}$。所以性质 1 成立。（从第 0 项到第 $k$ 项，$a_k$ 是递增的；由于 $b_k=a_k+k$，所以 $b_k$ 也是递增的。）

2. 任意操作都可将奇异局势变为非奇异局势。

事实上，若只改变奇异局势 $(a_k,b_k)$ 的某一个分量，那么另一个分量不可能在其他奇异局势中（性质 1），所以必然是非奇异局势。如果使 $(a_k,b_k)$ 的两个分量同时减少，则由于其差不变，且不可能是其他奇异局势的差（因为 $k$ 是递增的，所以每个奇异局势对应唯一一个差），因此也是非奇异局势。

3. 采用适当的方法，可以将非奇异局势变为奇异局势。

假设面对的局势是 $(a,b)$ （设 $a\le b$，否则先交换 $a$ 和 $b$），若 $b=a$，则同时从两堆中取走 $a$ 个物体，就变为了奇异局势 $(0,0)$；如果 $a=a_k$，$b>b_k$，那么，取走 $b-b_k$ 个物体，即变为奇异局势；如果 $a=a_k$，$b<b_k$，则同时从两堆中拿走 $a_k-a_b-a_k$ 个物体，变为奇异局势 $(ab-a_k,ab-a_k+b-a_k)$；如果 $a>a_k$，$b=a_k+k$，则从第一堆中拿走多余的数量 $a-a_k$ 即可；如果 $a<a_k$，$b=a_k+k$，分两种情况，第一种，$a=a_j$（$j<k$），从第二堆里面拿走 $b-b_j$ 即可；第二种，$a=b_j$（$j<k$），从第二堆里面拿走 $b-a_j$ 即可。

从如上性质可知，两个人如果都采用正确操作，那么面对非奇异局势，先拿者必胜；反之，则后拿者取胜。
给定一个局势 $(a,b)$，如何判断它是否为奇异局势呢？我们可以使用以下公式：

$$a_k=\lfloor k\left(1+\sqrt{5}\right)/2\rfloor ,b_k=a_k+k(k=0,1,2,\dots ,n)$$

其中，$\lfloor x\rfloor$ 表示取整函数。有趣的是，公式中出现了黄金分割数 $(1+\sqrt{5})/2=1.618\dots$，因此由 $a_k$ 和 $b_k$ 组成的矩形近似为黄金矩形。我们可以先求出 $j=\lfloor a(\sqrt{5}-1)/2\rfloor$，然后判断：

• 若 $a=a_j$，则 $a$ 是奇异局势，$b=a_j+j$；
• 若 $a=a_{j+1}$，则 $a_{j+1}$ 是奇异局势，$b=a_{j+1}+j+1$；
• 否则，继续按照上述方法进行判断，直到找到奇异局势或者判断结束。

另一种判断方法是：给定 $(a,b)$（$a<b$），先计算 $k=b-a$，然后根据 $k$ 计算 $a_k$ 和 $b_k$。如果 $a_k=a$ 且 $b_k=b$，那么 $(a,b)$ 是奇异局势，否则不是。

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尼姆博奕

有三堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆取任意多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。这种情况最有意思，它与二进制有密切关系，我们用 $(a,b,c)$ 表示某种局势，首先 $(0,0,0)$ 显然是奇异局势，无论谁面对奇异局势，都必然失败。第二种奇异局势是 $(0,n,n)$，只要与对手拿走一样多的物品，最后都将导致 $(0,0,0)$。仔细分析一下，$(1,2,3)$ 也是奇异局势，（我先拿之后，）无论对手如何拿，接下来都可以变为 $(0,n,n)$ 的情形。

计算机算法里面有一种叫做按位模 2 加，也叫做异或的运算，我们用符号 $(+)$ 表示这种运算。这种运算和一般加法不同的一点是 $1+1=0$。先看 $(1,2,3)$ 的按位模 2 加的结果：

$$\begin{gathered} 1=\text{二进制 }01 \\ 2=\text{二进制 }10 \\ 3=\text{二进制 }11 \\ 1\text{ (+) }2\text{ (+) }3=0\text{ (注意不进位)} \end{gathered}$$

对于奇异局势 $(0,n,n)$ 也一样，结果也是 $0$。任何奇异局势 $(a,b,c)$ 都有 $a\text{ (+) }b\text{ (+) }c=0$。

如果我们面对的是一个非奇异局势 $(a,b,c)$，要如何变为奇异局势呢？假设 $a<b<c$，我们只要将 $c$ 变为 $a\text{ (+) }b$ 即可，因为有如下的运算结果：

$$a\text{ (+) }b\text{ (+) }(a\text{ (+) }b)=(a\text{ (+) }a)\text{ (+) }(b\text{ (+) }b)=0\text{ (+) }0=0$$

要将 $c$ 变为 $a\text{ (+) }b$，只要从 $c$ 中减去 $c-(a\text{ (+) }b)$ 即可。