数学归纳法证明从N个数中取三个数的不同组合的总数为N(N-1)(N-2)/6

设P(n)为命题：从n个数中取三个数的不同组合的总数为$\frac{n(n-1)(n-2)}{6}$。

基础步骤： P(3)为真，因为只有1种组合，而 $\frac{3\ast (3-1)\ast (3-2)}{6}=1$。

归纳步骤： 归纳假设对正整数k > 3，P(k)为真。即假定从k个数中取三个数的不同组合的
\quad\quad\quad\quad 总数为$\frac{k(k-1)(k-2)}{6}$。必须证明：在归纳假设下，P(k+1)也为真。
\quad\quad\quad\quad 即从k+1个数中取三个数的不同组合的总数为$\frac{(k+1)k(k-1)}{6}$。

\quad\quad 考虑从集合中剔除一个元素，这样一来就剩下k个数了，根据归纳假设，组合数为
$\frac{k(k-1)(k-2)}{6}$，每个元素被剔除的情况共有 $C_{k+1}^1=k+1$ 种，所以组合数共有
$(k+1)\cdot \frac{k(k-1)(k-2)}{6}$种。但是，对于任一组合(a, b, c)而言，只要a, b, c都没有被剔除，
该组合就会被重复计数，所以一共重复了 $(k+1)-3=k-2$次，最终的结果为
$(k+1)\cdot \frac{k(k-1)(k-2)}{6}\cdot \frac{1}{k-2}=\frac{(k+1)k(k-1)}{6}$。
\quad\quad 至此，已经完成了基础步骤和归纳步骤，根据数学归纳法原理可知：对所有正整数n>=3，P(n)为真。