（浙大陈越版）数据结构 第三章 树(上) 3.3 二叉树的遍历

目录

3.3.1 遍历（先中后）

二叉树的遍历

先序遍历：

中序遍历

后序遍历

tips:

3.3.2 中序非递归遍历

非递归算法实现的基本思路：使用堆栈

中序遍历的非递归算法具体实现方法为：

3.3.3 层序遍历

难点

解决方法：

队列实现

思路

有如下二叉树作为例子：

遍历过程：（出队即printf）

思考：

3.3.4 遍历应用例子

1. 输出二叉树中的叶子结点

2. 求二叉树高度

3. 二元运算表达式树及其遍历

4. 由两种遍历序列确定二叉树

---

3.3.1 遍历（先中后）

二叉树的遍历

先序遍历：

遍历过程：

1. 访问根结点
2. 先序遍历其左子树（递归遍历，根结点左子树如果也有左右子树也要遍历）
3. 先序遍历其右子树

既然需要递归遍历左右子树，我们设想以下如果直接用递归实现这个算法（伪码）：

void PreOrderTraversal( BinTree BT )
{
     if( BT ) {
         printf(“%d”, BT->Data);
         PreOrderTraversal( BT->Left );
         PreOrderTraversal( BT->Right );
     }
}

若有二叉树为A(B(DF(E))C(G(H)I))，其先序遍历访问顺序为——A-B-D-F-E-C-G-H-I

中序遍历

遍历过程：

1. 先序遍历其左子树
2. 访问根结点
3. 先序遍历其右子树

代码就直接将Printf放到两次递归中间即可

void PreOrderTraversal( BinTree BT )
{
     if( BT ) {
         PreOrderTraversal( BT->Left );
         printf(“%d”, BT->Data);
         PreOrderTraversal( BT->Right );
     }
}

后序遍历

遍历过程：

1. 先序遍历其右子树
2. 访问根结点
3. 先序遍历其左子树

void PostOrderTraversal( BinTree BT )
{
    if( BT ) {
        PostOrderTraversal( BT->Left );
        PostOrderTraversal( BT->Right);
        printf(“%d”, BT->Data);
    }
}

 

tips:

先序、中序和后序遍历过程：遍历过程中经过结点的路线一 样，只是访问各结点的时机不同。

3.3.2 中序非递归遍历

非递归算法实现的基本思路：使用堆栈

中序遍历是按左、根、右的顺序，所以以上一节的树为例：

1. 在一开始遇到A，A有左子树，所以将A放入堆栈
2. 下一个要处理的是A的左子树B，B也有左子树，所以再把B放到堆栈里
3. 下一个是B的左子树D，D没有孩子，D放入堆栈后就要出栈了，随后B出栈。
4. 此时B这棵树左、根都遍历完了，接下来处理右子树F。
5. F有左子树，所以先把F放入堆栈
6. F的左子树E没有孩子，E入栈然后出栈，F再出栈，最后A的左子树处理完毕，A也出栈
7. 此时遍历顺序为DBEFA，接着处理A的右子树
8. A的右子树C，C有左子树，存入栈，处理其左子树
9. G没有左子树，所以先入栈后出栈
10. G有右子树H（中序遍历顺序），H没有左子树，入栈后紧接着出栈
11. 处理完C的左子树，C可以出栈
12. C有右子树I，I没有左子树，入栈后紧接着出栈
13. 最后遍历顺序即为：DBEFAGHCI

中序遍历的非递归算法具体实现方法为：

• 遇到一个结点就将其压入栈，并遍历其左子树（若有左子树的话），
• 当左子树遍历完毕，就从栈顶弹出这个结点并访问它
• 按结点右指针去遍历这个结点的右子树

void InOrderTraversal( BinTree BT )
{
    BinTree T=BT;
    Stack S = CreatStack( MaxSize ); /*创建并初始化堆栈S*/
    
    while( T || !IsEmpty(S) ){
        while(T){
            /*一直向左并将沿途结点压入堆栈*/
            Push(S,T);
            T = T->Left;
        }
        if(!IsEmpty(S)){
        T = Pop(S); /*结点弹出堆栈*/
        printf(“%5d”, T->Data); /*（访问）打印结点*/
        T = T->Right; /*转向右子树*/
        }
    }
}

也可推知，先序遍历也能用非递归实现，修改printf位置即可

void PreOrderTraversal( BinTree BT )
{
    BinTree T=BT;
    Stack S = CreatStack( MaxSize ); /*创建并初始化堆栈S*/
    
    while( T || !IsEmpty(S) ){
        while(T){
            /*一直向左并将沿途结点压入堆栈*/
            Push(S,T);
            printf(“%5d”, T->Data); /*第一次碰到就打印*/
            T = T->Left;
        }
        if(!IsEmpty(S)){

        T = Pop(S); /*结点弹出堆栈*/
        T = T->Right; /*转向右子树*/
        }
    }
}

但后序遍历不能简单挪动位置实现，因为后序遍历在操作完左右子树后需要返回到根结点，而且是在第三次经过根结点时将其pop出去，所以实现它需要用到两个堆栈

1. 初始化两个堆栈s1和s2，将根节点压入s1中。
2. 从s1中弹出栈顶节点，将其压入s2中。
3. 如果该节点有左子节点，则将左子节点压入s1中。
4. 如果该节点有右子节点，则将右子节点压入s1中。
5. 重复步骤2到步骤4，直到s1为空。
6. 从s2中依次弹出节点并输出，即可得到后序遍历序列。

void PostOrder(BinTree BT)
{
    BinTree T = BT;
    stack S = createstack();
    while(T || IsEmpty(S)){
        while(T){
            push(S, T); 
            T = T->Left;
        }
        if(top(S)->Right != NULL){
            T = top(S)->Right;
            continue;
        }
        T = pop(S);
        printf("%5d", T->data);
        while(top(S)->Right == T){
            T = pop(S);
            printf("%5d", T->data);
         }
        T = top(S)->Right;
}

3.3.3 层序遍历

难点

除了先中后序，我们还有一种遍历方式是层序遍历。二叉树是一个二维结构，而遍历的序列是一个线性结构，遍历二叉树的本质是将一个二维结构变成一维线性结构。

而难点在于，只有通过父结点才能访问到左右孩子结点，再通过子结点来访问子结点的左右孩子结点，因此如果变成线性结构，线性就意味着一个点只与另一个点有关，而子结点会有两个，当访问了一个子结点之后另一个子结点该怎么处理？

解决方法：

用一个存储结构来保存暂时不访问的结点。如堆栈、队列

队列实现

思路

遍历从根结点开始，首先将根结点入队，然后开始执行循环：

• 从队列中取出一个元素
• 访问该元素所指结点
• 若该元素所指结点的左、右孩子结点非空， 则将其左、右孩子的指针顺序入队。

有如下二叉树作为例子：

遍历过程：（出队即printf）

A入队，第一个元素为A，队列为A

A出队，将A的左右儿子BC入队，此时第一个元素为B，队列为BC

B出队，将B的左右儿子DF入队，此时第一个元素为C，队列为CDF

C出队，将C的左右儿子GI入队，此时第一个元素是D，队列为DFGI

D出队，D没有左右儿子，此时第一个元素是F，队列为FGI

F出队，将F的左儿子E入队，此时第一个元素是G，队列为GIE

G出队，将G的右儿子H入队，此时第一个元素是I，队列为IEH

I出队，EH都没有子结点，依次出队

出队顺序为：A B C D F G I E H，序列恰好是每一层的结点顺序

void LevelOrderTraversal ( BinTree BT )
{
    Queue Q;
    BinTree T;

    if ( !BT ) return; /* 若是空树则直接返回 */
    Q = CreatQueue( MaxSize ); /*创建并初始化队列Q*/
    AddQ( Q, BT );

    while ( !IsEmptyQ( Q ) ) {
        //Step1
        T = DeleteQ( Q );
        //step2
        printf(“%d\n”, T->Data); /*访问取出队列的结点*/
        //Step3
        if ( T->Left ) AddQ( Q, T->Left );

        if ( T->Right ) AddQ( Q, T->Right );
    }
}

思考：

若将层序遍历中的队列实现修改为堆栈实现，是否也是一种遍历方法？

是的，改为堆栈后一般称其为深度优先遍历，简单来说就是访问根结点，再依次访问其左右子树直到遍历完整棵树。

3.3.4 遍历应用例子

1. 输出二叉树中的叶子结点

思路：在遍历算法中加入一个“检测该结点左右子树是否都为空”，即可得知是否为叶子结点

//以前序遍历为例
void PreOrderPrintLeaves( BinTree BT )
{
    if( BT ) {
        //若左右子树为空，则打印结点
        if ( !BT-Left && !BT->Right )
        {
            printf(“%d”, BT->Data );
        }
        PreOrderPrintLeaves ( BT->Left );
        PreOrderPrintLeaves ( BT->Right );
    }
}

2. 求二叉树高度

二叉树的总高度=左右子树的最大高度+1，因此要求二叉树总高度，需要先知道左右子树的高度。后序遍历的遍历顺序显然很符合这样的算法

int PostOrderGetHeight( BinTree BT )
{
    int HL, HR, MaxH;

    if( BT ) {
    HL = PostOrderGetHeight(BT->Left); /*求左子树的深度*/
    HR = PostOrderGetHeight(BT->Right); /*求右子树的深度*/
    MaxH = （HL > HR）? HL : HR; /*取左右子树较大的深度*/
    return ( MaxH + 1 ); /*返回树的深度*/
    }
    else return 0; /* 空树深度为0 */
}

3. 二元运算表达式树及其遍历

如下表达式树，其作用是对左右两颗树做根结点运算

4. 由两种遍历序列确定二叉树

若已知三种遍历中的任意两种遍历序列，能否唯一确定一颗二叉树呢？

答案是不能，必须要知道中序遍历+其他任意遍历序列才行

若已知先序和中序遍历序列，如何确定一颗二叉树？

思路：已知先序第一个结点是根结点，只要在中序中找到一样的结点，就能在中序遍历序列中分割开左子树和右子树，再递归使用这个方法分解全部结点。