tr(AB) = tr(BA)

证明 $tr(AB)=tr(BA)$，其中 $A$ 和 $B$ 是两个矩阵, $A$ 与 $B^T$ 的尺寸相同，我们可以使用矩阵迹的性质和矩阵乘法的定义。

假设 $A$ 是一个 $m\times n$ 的矩阵，$B$ 是一个 $n\times m$ 的矩阵。根据矩阵乘法的定义，$AB$ 是一个 $m\times m$ 的矩阵，$BA$ 是一个 $n\times n$ 的矩阵。

我们知道，矩阵的迹是指矩阵主对角线上元素的和。因此，$tr(AB)$ 表示矩阵 $AB$ 的主对角线上元素的和，$tr(BA)$ 表示矩阵 $BA$ 的主对角线上元素的和。

现在，让我们来计算 $tr(AB)$ 和 $tr(BA)$：

$\begin{array}{rl}& tr(AB)=\sum _{i=1}^m(AB{)}_{ii}\\ & tr(BA)=\sum _{j=1}^n(BA{)}_{jj}\end{array}$

我们知道，$(AB{)}_{ii}$ 表示矩阵 $AB$ 的第 $i$ 行第 $i$ 列元素，$(BA{)}_{jj}$ 表示矩阵 $BA$ 的第 $j$ 行第 $j$ 列元素。

根据矩阵乘法的定义，$(AB{)}_{ii}=\sum _{k=1}^n{A}_{ik}{B}_{ki}$，$(BA{)}_{jj}=\sum _{k=1}^m{B}_{jk}{A}_{kj}$。

将上述表达式代入 $tr(AB)$ 和 $tr(BA)$ 的计算式中，我们得到：

$\begin{array}{rl}& tr(AB)=\sum _{i=1}^m(\sum _{k=1}^n{A}_{ik}{B}_{ki})\\ & tr(BA)=\sum _{j=1}^n(\sum _{k=1}^m{B}_{jk}{A}_{kj})\end{array}$

现在，我们可以交换求和的顺序，将内部的求和进行交换：

$\begin{array}{rl}& tr(AB)=\sum _{i=1}^m(\sum _{k=1}^n{A}_{ik}{B}_{ki})\\ & tr(BA)=\sum _{k=1}^m(\sum _{j=1}^n{B}_{jk}{A}_{kj})\end{array}$

观察上述两个式子，我们可以发现内部求和的项是相同的，只是求和的顺序不同。

因此，$tr(AB)=tr(BA)$。