组合数学第四讲

Generating Function(生成函数)

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这里是一个普通生成函数例子,生成函数一般适用于根据递推关系式求出比较复杂的通项公式a_{n}

 

 关键点:

1.a_{n+1}项可转换成G(x)-a_{0},因为生成函数规定是从0到+∞的

2.\sum_{n=0}^{\infty }x^{n} = 1 + x + x^{2} + ... + x^{n},当|x|<1时,最终可收敛为\frac{1}{1-x}。这里的x可以看做整体,如\sum_{n=0}^{\infty }4x^{n}最后收敛为\frac{1}{1-4x};同时也可以通过\frac{1}{1-x}倒推出\sum_{n=0}^{\infty }x^{n}

Fibonacci numbers(斐波那契数列)

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 下面可以用生成函数练习一下,推导一下斐波那契数列的通项公式

 利用累加法可以推导出一些关于斐波那契数列的结论

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 Golden Ratio(黄金分割率)

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 发现在上面推导斐波那契数列的通项公式时,利用求根公式也求出过φ

 Exponential Generating Function(指数生成函数)

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组合数学第四讲_第12张图片

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