张量分析入门笔记 (Tensor For Beginner)

前言

学习的时候感觉要学一下张量，在B站看了一个视频，记录一下，参考的是B站视频【机翻】张量分析入门 (Tensor For Beginner)

1. 张量的定义 Tenson Definition

引入：一只铅笔，我们让它朝着门的方向，铅笔的朝向是始终不变的（这是本质的东西），但是铅笔在不同坐标系下的坐标却不一样（哦，可能需要进行坐标变换）。

张量是不变的，但是它的坐标在不同的坐标系下是不同的（张量的坐标定义）。

张量：向量和共变向量的组合使用张量积进行定义。

一个很直观的抽象张量的方法是从微积分的求偏导和梯度得到——雅克比矩阵。

2. 张量的前向和后向的转换 Forward and Backward Transformation

有点类似机器人学的坐标转换，旧坐标系和新坐标系的互相转换。

前向的转换（旧坐标系转换到新坐标系）

后向的转换（新坐标系转换到旧坐标系）

我们可以容易验证上面的正向和反向的转换矩阵互为逆矩阵。即$BF=I$

高维的情况：

于是在高维的情况下我们也可以证明$BF$相乘的矩阵是单位阵。

【上面图片$F_{jk}$为$F_{kj}$，$B_{ij}$为$B_{ji}$，作者说ppt写错了】

总结：最后就可以引出Kronecker Delta记号${\delta }_{ik}$。

3. 向量 Vector

引入了向量空间，需要定义一个集合，并且定义向量内部的元素类型（比如是一个实数），向量的运算性质（数乘和加法）。

向量的正反变换为B和F，坐标的对应正反变换为F和B。

两个例子：

• 例子1：不同基向量下的坐标（只使用数乘）

基向量长度增加了，坐标的值减少了。

• 例子2：不同基向量下的坐标（基向量旋转）
  

基向量长度不变进行顺时针旋转，相对的向量坐标的变化是相对原来的坐标系逆时针旋转，更接近$e_2$，变化方向也是相反的。

基向量和向量分量的变换公式：

这个时候基向量分量和向量是相反的关系，我们称他是contravariant 的。

为了区分这种相反的关系，我们需要把放在向量分量的下标改为上标，提示我们它是逆变张量（当基向量变大时，对应的向量分量变小）。

4. 余向量 Covector

我们可以基本认为余向量是一个行向量。它相当于一个函数（矢量的点积）将列向量转化为一个实数：

验证加法：

验证数乘：

这个函数相当于是一个线性函数。

我们可以将这个过程进行一个可视化。

作用以后相当于求向量落在那条线上（有点类似于等高线）。

余向量有很好的数乘和加法的性质。它所在的空间可以看做是向量空间的一个对偶空间。（加法和数乘的定义不一样）

最后做一个总结：

我们可以理解为Covector协变张量就是行向量，而其向量分量是这个协变张量作用在列向量（点积）。

注意

• 协变张量相当于一个函数关系：$\alpha :V\mapsto \mathbb{R}$
• 协变张量不存在于向量空间$V$中
• 我们不能像向量一样使用基向量$\{e_1,e_2\}$对协变张量进行测量。

我们引入一个记号$ϵ$作为对偶基，并按上图进行定义，这样又可以引入Kronecker Delta记号${\delta }_{ik}$。

$ϵ$的作用是将向量投影到协变张量的方向。

协变张量$\alpha$相当于定义了一个对偶基。几何直观是：

这里又引入Kronecker Delta记号${\delta }_{ik}$。

协变张量可以有不同的表达方式

协变张量可以看到坐标分量：
$$2\times 2+1\times 1=5$$
坐标（旧坐标换到新坐标）：
$$2{\mathbf{e}}_1+1{\mathbf{e}}_2={\tilde{\mathbf{e}}}_1$$

都是同样的变大，不存在逆变张量。

这和前面讲的逆变张量有很大的区别：旧坐标分量到新坐标分量在逆变张量用的是$B$进行变换，反之用$F$；旧坐标分量到新坐标分量在协变张量用的是$F$进行变换，反之用$B$。

我们可以看看协变张量的计算规则：

$ϵ$是对偶基，而$e$是原始基。我们可以看到旧对偶基$ϵ$到新对偶基$\widetilde{ϵ}$的系数矩阵和原始基$\tilde{e}$到新基$e$的系数矩阵差一个转置。

对于高维的情况，我们有：

因为$QF=I$，$BF=I$，所以$Q=B$。这就是说从旧的对偶基变换到新的对偶基需要使用$B$（反向传递进行变换）。于是我们就知道$ϵ$需要使用上标，因为它和基向量$e$的变换方向是相反的。

这是基向量和对偶向量之间的变换关系，它们的变换规则是完全相反的。

基向量变大，对应的向量分量也会变大。

下面这张图总结了前面所讲的协变和逆变变换。

5. 线性映射 Linear Map

线性映射转换输入的向量，但是不会转换基。几何直观上进行了这样的转换：

尽管输入和输出的向量可能是不一样的，但是它们都是在同一组基下进行表示的。

在线性变换的作用下，网格线仍然是平行的，均匀分布的，而且原点是不变的。但是平移不是线性变换，因为原点的位置发生了改变。

线性映射需要满足以上三点。其中后两点被称为是线性性。

加法的几何直观：

数乘的几何直观：

以上两张图片通过代数运算给出了线性映射（矩阵）的计算规则。

探究：在不同基下的坐标进行线性变换

我们不能再使用原来的基下的变换矩阵，我们需要求新的基下的变换矩阵。

于是我们的问题就可以解决了。

然后就引入了爱因斯坦求和法则：

矩阵乘一个单位阵还是自己用张量表示：

我们还可以得到线性变换反向转换的表达式：

那么现在我们就学了：

6. 度规张量 The Metric Tensor

于是这样就引出了度规张量（线性代数的二次型派上了用场）

举个例子：

于是长度我们可以计算，角度我们也可以计算。

目前学到的张量。

对于度规张量的数乘。

对于度规张量的加法。

于是（0-2）型张量引出了二次型。

二次型有双线性，可以类比与余向量。

这里的双线性指的是一个输入线性变化时，另一个输入保持不变。

对于（0-2）型tensor还有以上的两个性质。

不是所有的度规形式都是张量，需要满足上一张图的两个性质。

7. 张量积 Tensor Product

先复习一下我们之前学到的张量：

一个矩阵（线性映射）如果可以分解为一个列向量（向量）和一个行向量（余向量）相乘，称它是pure的。否则是impure的。

使用标准基和对偶基我们可以构造四个基本矩阵。

所有的$2\times 2$的矩阵都可以写作是这四个基本矩阵的线性组合。我们称这四个矩阵是KaTeX parse error: Undefined control sequence: \time at position 2: 2\̲t̲i̲m̲e̲ ̲2型矩阵（线性映射）的基。

对于线性映射我们可以重新书写一下。如上所示，得到线性映射后的元素的计算的方式。

当然线性映射也可以选择其他的基。

我们可以对pure Linear Map和Impure Linear Map重新总结一下。接下来我们就可以引入张量的记号了。

为了简化对于张量积的符号还是写作左边的这种形式。

张量积给我们看线性映射带来了新的视角。

张量积（上图右边的一个直观的表达）。

对于二次型的形式我们也可以看成是两个余向量的形式，为什么呢？余向量需要有一个向量作为输入，这点和二次型需要两个向量输入很相似。

张量积给我们看二次型带来了新的视角。

好像使用张量积表示二次型不太对？

看上面的图我们呢知道只是形式不同罢了。

关于$\otimes$记号，分别可以作用于张量(张量积)和数组（Kronecker积）。

回顾一下标准基和对偶基。

张量积作用两个张量出来还是张量。

使用张量积我们也可以看到线性映射是怎么作用在向量上的。

上面两个图是使用Kronecker积作用在向量上。

其实两者在做类似的同样的事情，不过张量积将抽象的基也考虑进去了。

如前所述：使用张量积可以很简单地定义线性映射：

以及二次型。

接下来我们来看一些没见过的张量。

上面的图左边是(2-0)型张量，右边是(1-2)型张量。我们不禁要问：对于新的张量类型我们怎么定义坐标转换的规则？如果要计算$Q(D)$，乘法公式是什么？以及矩阵的形状是什么样的？

上图解决了第一个问题：新的张量怎么进行不同的坐标转换？

上图解决了第二个问题：如果要计算$Q(D)$，乘法公式是什么？答案是不唯一的，你有各种各样的组合方式。这样写写不清楚，我们还是需要按照爱因斯坦的求和法写出分量的表达式。

对于张量$D$和张量$Q$的表达形式如上图所示。其中$Q$是一个三阶张量，可以有上面最后一图的表达方式。

矩阵的乘法在低维的张量很有用，但是在高维的情况下如前所述我们有很多种表达的形式，这是后再使用矩阵的乘法就不是特别好了。我们还是用爱因斯坦乘法来表示我们想要的张量乘法，不然容易发生混淆。

在很多情况下，我们只关注张量的分量。

现在我们再次回顾张量的乘定义，应该就很清楚了。

8. 张量积空间 Tensor Product Space

回顾：前面线性映射和二次型的例子

数乘（张量积和Kronecker积是类似的）


加法（张量积和Kronecker积是类似的）

总结一下我们有：

这在计算中很有用（参见上面两图）。

张量积定义的张量积空间（上图的最后一行）

$V\otimes V^{\ast }$的元素是什么？

上图说明：$V\otimes V^{\ast }$的元素是（1,1）型的张量。

我们要记得向量分量用的是上标，而余向量分量使用的是下标。

将线性映射进行不同的作用我们可以映射到不同的空间。

另一个例子是二次型。

将二次型进行不同的作用我们可以映射到不同的空间。

使用不同的张量空间进行张量积我们得到不同的张量积空间。

在张量的计算中我们可以使用数乘和加法来进行计算：

这就引出了高维张量的多线性映射（一个量发生改变，但是其他的量不变，仍然保持线性性）：

总结：

9. 张量指标的上升和下降 Raising or Lowing Indexes

现在我们有两个空间，我们怎么建立两个空间的关系呢？

很自然地我们可以想到将它们对应的基进行匹配：

但是这种方法并不好。因为两个坐标转换的规则不一样一个是乘以矩阵$F$，一个是乘以矩阵$B$。



上面的图片表明($v\cdot$_)确实属于$V^{\ast }$。

不依赖于基我们就找到了两者很好的匹配关系。

类比度规张量我们可以得到($v\cdot$_)的表达式。

总结：

注意这两个不一样除非$g_{ij}={\delta }_{ij}$：


利用$g$可以定义空间$V$到空间$V^{\ast }$的映射，反过来怎么办呢？

$g$把上标变成下标。$\mathfrak{g}$把下标变成上标。

这样我们可以把张量空间进行各种不同的映射。

指标从上标变成下标也可以使用符号$b$，从下标变成上标也可以使用符号$\#$，类似于钢琴里的升调和降调。

参考：

【机翻】张量分析入门 (Tensor For Beginner)