三对角矩阵原理及C++实现

一、三对角矩阵

1.三对角矩阵概念

2.三对角矩阵元素数量

对于给定n阶方阵M，若其为三对角矩阵，则元素个数N为：

• 若n=1，此时方阵只有一个元素M[0][0]，由定义知该元素也在三对角线上。故N=1。
• 若n>1，由三对角矩阵特点知，矩阵的第一行和最后一行（第n行）分别有两个非零元素，其余行每行各有三个非零元素。故N = 3*(n-2)+2*2 = 3n-2。

综上，
$$N=\{\begin{array}{rlr}& 1,& \text{n=1}\\ & 3n-2,& \text{n>1}\end{array}$$

3.三对角矩阵下标变换推导（行优先和列优先）

对于给定n阶三对角方阵M和存放该方阵的数组A，非零元素M_ij（1≤i,j≤n，|i-j|≤1）同数组元素A[k]（0≤k）存在一一对应的关系。下面分别推导从下标i,j到k和k到i,j的关系。

3.1行优先

1. 从M_ij到A[k]：即已知i,j要找出对应的k，需要知道，在数组A中，元素M_ij之前存放的元素个数num，则M_ij存放在A的第num+1个位置，对应数组A的下标正好为num（假设数组下标从0开始）。

• 先考虑i>1的情况，即寻找第一行以下的非零元素M_ij：

  • 第一行有2个非零元素；之后的2~i-1行，每行有三个非零元素。

  • 第i行，在M_ij之前的非零元素有j-(i-1)个。

故k = num = 2+3*(i-1-1)+j-(i-1)=2i+j-3。

• 而当i=1时，有j=1或2。且A[0]=M_11，A[1]=M_12。代入发现也符合上述公式。
  

2. 从A[k]到M_ij。

首先求出A[k]位于M的第几行：由于M的第一行有两个元素，2~i-1行有三个元素，由此可以得到i关于k的表达式：i = ⌊(k+1)/3+1⌋（下取整）。（i+1为第一行“补”一个元素，加一是因为i从1开始）。
然后可以根据上面得到的k与i,j的关系得到：j = k-2i+3 。

3.列优先

由于三对角矩阵具有良好的对称性，所以只需要对行优先推导得到的关系中i,j互换即可。
即：

• k=2j+i-3，
• j=⌊(k+1)/3+1⌋（下取整），i=k-2j+3。

二、C++实现三对角矩阵代码

//diagonalMatrix.hpp
#pragma once
#include "assert.h"
#include 
template <typename E>
// 检查下标越界
#define CHECK(i, j) \
    assert(i >= 1 && j >= 1 && i <= m_dimension && j <= m_dimension);

// 检查是否是对角阵中的非零元素
#define IS_ZERO(i, j) abs(i - j) > 1

// 根据行/列优先原则获取数组对应下标
#define GET_IDX(i, j) m_priority ? (2 * i + j - 3) : (2 * j + i - 3)

class DiagonalMatrix
{
private:
    int m_dimension; // 方阵阶数
    int m_capacity;  // 数组容量，即方阵中非零元素数量
    E *m_array;      // 存储方阵的数组
    bool m_priority; // 0: 行优先 1:列优先
public:
    DiagonalMatrix(int dimension, bool priority = false) : m_dimension(dimension), m_priority(priority)
    {
        assert(dimension >= 1);
        if (dimension == 1)

            m_capacity = 1;

        else
            m_capacity = 3 * dimension - 2; // capacity = (d - 2)*3 + 2*2 = 3d -2
        m_array = new E[m_capacity];
    }
    ~DiagonalMatrix()
    {
        delete m_array;
        m_array = nullptr;
    }
    // 设置元素M_ij
    void set(const E &element, int i, int j)
    {
        CHECK(i, j);
        if (IS_ZERO(i, j))
            return;
        m_array[GET_IDX(i, j)] = element;
    }
    // 获取元素M_ij
    E get(int i, int j)
    {
        CHECK(i, j);
        if (IS_ZERO(i, j))
            return 0;
        return m_array[GET_IDX(i, j)];
    }

    // 获取数组元素A[k]对应方阵的下标i和j
    void getKIdx(int k, int &i, int &j)
    {
        assert(k >= 0 && k < m_capacity);
        if (!m_priority)
        {
            i = (k + 1) / 3 + 1;
            j = k - 2 * i + 3;
        }
        else
        {
            j = (k + 1) / 3 + 1;
            i = k - 2 * j + 3;
        }
    }
    // 打印方阵
    void printMatrix()
    {
        for (int i = 1; i <= m_dimension; i++)
        {
            for (int j = 1; j <= m_dimension; j++)
                std::cout << get(i, j) << ' ';
            std::cout << '\n';
        }
    }

    int getCapacity()
    {
        return m_capacity;
    }

    int getDimension()
    {
        return m_dimension;
    }
};

使用：

#include "diagonalMatrix.hpp"
int main()
{
    using namespace std;
    DiagonalMatrix<int> d(6);
    int matrix[6][6] =
        {
            {1, 1, 0, 0, 0, 0},
            {1, 1, 1, 0, 0, 0},
            {0, 1, 1, 1, 0, 0},
            {0, 0, 1, 1, 1, 0},
            {0, 0, 0, 1, 1, 1},
            {0, 0, 0, 0, 1, 1}};

    // set value
    int i, j, k;
    for (i = 0; i < 6; i++)
        for (j = 0; j < 6; j++)
            if (matrix[i][j] != 0)
                d.set(matrix[i][j], i + 1, j + 1);

    // get idx and value
    for (k = 0; k < d.getCapacity(); k++)
    {
        d.getKIdx(k, i, j);
        printf("k = %d , i = %d, j = %d , matrix[%d][%d] = %d\n", k, i, j, i, j, d.get(i, j));
    }
    d.printMatrix();
}

结果：

k = 0 , i = 1, j = 1 , matrix[1][1] = 1
k = 1 , i = 1, j = 2 , matrix[1][2] = 1
k = 2 , i = 2, j = 1 , matrix[2][1] = 1
k = 3 , i = 2, j = 2 , matrix[2][2] = 1
k = 4 , i = 2, j = 3 , matrix[2][3] = 1
k = 5 , i = 3, j = 2 , matrix[3][2] = 1
k = 6 , i = 3, j = 3 , matrix[3][3] = 1
k = 7 , i = 3, j = 4 , matrix[3][4] = 1
k = 8 , i = 4, j = 3 , matrix[4][3] = 1
k = 9 , i = 4, j = 4 , matrix[4][4] = 1
k = 10 , i = 4, j = 5 , matrix[4][5] = 1
k = 11 , i = 5, j = 4 , matrix[5][4] = 1
k = 12 , i = 5, j = 5 , matrix[5][5] = 1
k = 13 , i = 5, j = 6 , matrix[5][6] = 1
k = 14 , i = 6, j = 5 , matrix[6][5] = 1
k = 15 , i = 6, j = 6 , matrix[6][6] = 1
1 1 0 0 0 0
1 1 1 0 0 0
0 1 1 1 0 0
0 0 1 1 1 0
0 0 0 1 1 1
0 0 0 0 1 1