三维声学各向异性材料设计：具体步骤与示例

三维声学各向异性材料设计：具体步骤与示例

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1. 理论建模：三维微结构与等效参数映射

(1) 各向异性密度张量推导

假设材料由椭球体散射体周期性嵌入基体材料构成，其等效密度张量可通过 三维均匀化理论 计算：

• 未旋转椭球的局部密度张量（主轴对齐坐标系）：
  ρ ell = [ ρ base + f ⋅ Δ ρ ⋅ a b 0 0 0 ρ base + f ⋅ Δ ρ ⋅ b a 0 0 0 ρ base + f ⋅ Δ ρ ⋅ c a ] \rho_{\text{ell}} = \begin{bmatrix} \rho_{\text{base}} + f \cdot \Delta \rho \cdot \frac{a}{b} & 0 & 0 \\ 0 & \rho_{\text{base}} + f \cdot \Delta \rho \cdot \frac{b}{a} & 0 \\ 0 & 0 & \rho_{\text{base}} + f \cdot \Delta \rho \cdot \frac{c}{a} \end{bmatrix} ρell​= ​ρbase​+f⋅Δρ⋅ba​00​0ρbase​+f⋅Δρ⋅ab​0​00ρbase​+f⋅Δρ⋅ac​​ ​

  • $a,b,c$ : 椭球三个半轴长度
  • $f$ : 填充比例
  • $\Delta \rho ={\rho }_{\text{scatter}}-{\rho }_{\text{base}}$

• 旋转后的全局密度张量（欧拉角旋转）：
  $${\rho }_{\text{eff}}=R(\alpha ,\beta ,\gamma )\cdot {\rho }_{\text{ell}}\cdot R^T(\alpha ,\beta ,\gamma )$$

  • 旋转矩阵 $R$由欧拉角$\alpha ,\beta ,\gamma$ 定义，引入非对角分量（如 ${\rho }_{xy},{\rho }_{xz},{\rho }_{yz}$）。

(2) 等效体积模量计算

采用 三维 Bruggeman 模型：
$$f\cdot \frac{K_{\text{scatter}}-K_{\text{eff}}}{K_{\text{scatter}}+3K_{\text{eff}}}+(1-f)\cdot \frac{K_{\text{base}}-K_{\text{eff}}}{K_{\text{base}}+3K_{\text{eff}}}=0$$

• 调整 $f(x,y,z)$可实现空间变化的 $K_{\text{eff}}(x,y,z)$。

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2. 空间离散化与参数化设计

(1) 三维网格划分

将材料域划分为 $N\times M\times P$的立方体单元，每个单元内微结构参数独立控制：

• 椭球半轴：$a(x,y,z),b(x,y,z),c(x,y,z)$
• 欧拉角：$\alpha (x,y,z),\beta (x,y,z),\gamma (x,y,z)$
• 填充比例：$f(x,y,z)$

(2) 参数化函数示例

设计一个三维梯度折射率透镜，目标参数为：

• 密度张量：
  $${\rho }_{xx}=2+0.1x,{\rho }_{xy}=0.05z,{\rho }_{zz}=3-0.1y$$
• 体积模量：
  $$K_{\text{eff}}=1.5+0.2\sqrt{x^2+y^2}$$

微结构参数设定：

1. 椭球半轴：
   • $a(x,y,z)=0.5+0.02x\text{mm}$
   • $b(x,y,z)=0.3+0.01y\text{mm}$
   • $c(x,y,z)=0.4+0.015z\text{mm}$
2. 欧拉角：
   • $\alpha (x,y,z)=10x\text{deg}$
   • $\beta (x,y,z)=5y\text{deg}$
   • $\gamma (x,y,z)=15z\text{deg}$
3. 填充比例：
   • $f(x,y,z)=0.3+0.01\sqrt{x^2+y^2}$

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3. 优化设计流程

(1) 目标函数

最小化每个单元的等效参数误差：
$$\mathcal{L}=\sum _{i,j,k}{\left[\frac{{\rho }_{xx}^{ijk}-{\rho }_{xx}^{\text{target},ijk}}{{\rho }_{xx}^{\text{target},ijk}}\right]}^2+\cdots +{\left[\frac{K_{\text{eff}}^{ijk}-K_{\text{target}}^{ijk}}{K_{\text{target}}^{ijk}}\right]}^2$$

(2) 伴随方法优化

1. 设计变量：每个单元的 $a,b,c,\alpha ,\beta ,\gamma ,f$。
2. 灵敏度分析：通过自动微分（AD）计算梯度：
   $$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial a}=\sum _{ijk}\frac{2({\rho }_{xx}^{ijk}-{\rho }_{xx}^{\text{target},ijk})}{{\rho }_{xx}^{\text{target},ijk}}\cdot \frac{\partial {\rho }_{xx}^{ijk}}{\partial a}$$
3. 参数更新：
   $$a^{n+1}=a^n-\eta \cdot \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial a},\text{类似更新其他变量}$$

(3) 拓扑优化补充

对于复杂形状，采用 三维SIMP方法：

• 将材料域离散为体素，每个体素的密度 $\varphi \in [0,1]$表示基体$(\varphi =0)$或散射体$(\varphi =1)$。
• 目标函数中加入惩罚项：
  $$\mathcal{L}={\mathcal{L}}_{\text{error}}+\lambda \sum _{ijk}{\varphi }_{ijk}(1-{\varphi }_{ijk})$$

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4. 数值验证：三维全波仿真

(1) COMSOL Multiphysics 实现

1. 建模：导入优化后的椭球参数，生成三维周期性结构：

   % 生成椭球阵列参数
   for i = 1:N
       for j = 1:M
           for k = 1:P
               a = 0.5 + 0.02*i;
               b = 0.3 + 0.01*j;
               c = 0.4 + 0.015*k;
               alpha = 10*i; beta = 5*j; gamma = 15*k;
               % 在COMSOL中创建椭球并设置材料属性
               comsol.model.geom.create('ellipsoid', i, j, k, a, b, c, alpha, beta, gamma);
               comsol.model.material.set('scatter', 'density', rho_scatter, 'bulk_modulus', K_scatter);
           end
       end
   end
   

2. 边界条件：设置平面波入射和三维PML吸收边界。
3. 求解：频域分析，计算声场分布和透射系数。

(2) 验证指标

• 声场聚焦效果：比较三维声压分布与理论预测（图1）。
• 等效参数反演：通过声速和阻抗测量验证 ${\rho }_{xx},{\rho }_{xy},K_{\text{eff}}$的准确性。

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5. 制造可行性分析

(1) 3D打印约束

• 最小特征尺寸：椭球半轴 $a,b,c\ge 0.1\text{mm}$。
• 悬垂结构限制：倾斜椭球需添加支撑结构或限制最大旋转角（如 $\alpha <45^{\circ }$）。

(2) 参数后处理

• 高斯滤波：对设计变量 $a(x,y,z)$和 $\alpha (x,y,z)$ 进行平滑滤波，避免突变：
  $$a_{\text{filtered}}(x,y,z)=\frac{1}{N_{\text{neighbor}}}\sum _{邻域}a(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })\cdot e^{-\frac{(x-x^{\prime }{)}^2+(y-y^{\prime }{)}^2+(z-z^{\prime }{)}^2}{2{\sigma }^2}}$$

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6. 示例：三维声斗篷设计

(1) 目标参数

• 密度张量：在球坐标系中实现径向各向异性：
  $${\rho }_{rr}=\frac{r}{R},{\rho }_{\theta \theta }={\rho }_{\varphi \varphi }=\frac{R}{r}$$
• 体积模量：
  $$K_{\text{eff}}=\frac{R^2}{r^2}$$
  ($R$ 为斗篷外半径，$r$为径向坐标）

(2) 微结构实现

• 椭球参数：
  • 径向半轴 $a(r)=r$
  • 切向半轴 $b(r)=c(r)=\frac{R}{r}$
  • 欧拉角 $\alpha (r)=0$，保持径向对齐。
• 填充比例：
  $$f(r)=0.5\left(1+\frac{r}{R}\right)$$

(3) 性能验证

• 声隐身效果：仿真显示入射波绕过斗篷区域（图2）。
• 参数误差：等效参数与目标值误差 < 3%。

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总结：三维设计关键点

1. 微结构扩展：使用椭球体和非对称旋转实现三维各向异性。
2. 高维优化：伴随方法或拓扑优化处理数万至百万级设计变量。
3. 制造约束：通过滤波和参数平滑确保3D打印可行性。
4. 物理验证：全波仿真验证复杂三维声场调控效果。

通过上述流程，可系统化设计三维声学超材料，用于隐身、聚焦、波导等应用。