算法设计与分析课后总结

算法设计与分析课后总结

  • 算法设计与分析
    • 第1章 算法设计基础
      • 课后习题
    • 第二章算法分析基础
      • 课后习题
        • 1、考虑下面算法,回答下列问题,算法完成什么功能?算法的基本语句时什么?基本语句执行了多少次?
        • 2、分析以下程序段中基本语句的执行次数,要求列出计算公式
        • 3、使用递归扩展技术求解下列公式
    • 第三章 蛮力法
      • 课后习题
        • 1、设计算法,在数组r[n]中删除所有元素值为x的元素,要求时间复杂性为$O(n)$,空间复杂性为$O(1)$
        • 2、设计算法,将数组r[n]中删除重复元素,要求移动次数较少并使剩余元素的相对次序保持不变
        • 3、设表$A=\{a_1,a_2,...,a_n\}$,将A拆成B和C两个表,使A中值>=0的元素存入表B,值小于<0的元素存入表C,不外设空间,利用A的空间
    • 第四章 分治法
      • 课后习题
        • 1、对于待排序列(5,3,1,9)分别画出归并和快排的递归运行轨迹
        • 2、设计分治算法求数组最大元素,并分析时间性能
        • 3、在有序序列$(r_1,r_2,...,r_n)$中存在需序号$i(1<=i<=n)$使得$r_i=n$,设计一个分治算法找到这个元素
        • 4、在一个序列中出现次数最多的元素称为众数,寻找众数
    • 第五章 减治法
      • 课后习题
        • 1、折半查找的递归算法,并分析时间性能
        • 2、120硬币问题
    • 第六章 动态规划
      • 课后习题
        • 1、为什么动态规划法需要填表?如何设计表的结构?
        • 2、动态规划求0->12最短路径
    • 第7章 贪心法
      • 课后习题
        • 1.贪心法求背包问题,有7个物品,重量分别为(2,3,5,7,1,4,1),对应价值为(10,5,15,7,6,18,3)背包容量W=15,写出求解过程
        • 2、 最短链接求TSP
        • 3、n个顾客等待问题,使得顾客总等待时间最少
        • 4、17/18、11/12埃及分数问题
    • 第八章 回溯法
      • 课后习题
        • 1、回溯法求解三着色问题
        • 2、回溯法求解作业问题
        • 3、迷宫问题

算法设计与分析

主要包括课后习题、算法的总结

第1章 算法设计基础

课后习题

1、设计算法求数组的相差最小的两个元素
思路:快排+顺序遍历
快排函数:

int part(int* r, int low, int hight)  
{
	int i = low, j = hight, pivot = r[low]; 
	while (i < j)
	{
		while (i<j && r[j]>pivot) j--;
		if (i < j)	swap(r[i++], r[j]);  
		while (i < j && r[i] <= pivot) 	i++;
		if (i < j)	swap(r[i], r[j--]);  
	}
	return i;  
}
void Quicksort(int* r, int low, int hight)
{
	int mid;
	if (low < hight)
	{
		mid = part(r, low, hight);  // 返回基准元素位置
		Quicksort(r, low, mid - 1); // 左区间递归快速排序
		Quicksort(r, mid+1, hight); // 右区间递归快速排序
	}
}

相差最小值的函数:

int Min(int *r,int n)
{
	Quicksort(r,0,n-1);
	int min=MAX;
	for(int i=1;i<n;i++){
		if((a[i]-a[i-1])<min)
			min=a[i]-a[i-1];
	return min;	
}

2、设计算法找出数组a[n]中即不是最大,也不是最小的元素
思想:找出3个不相同的数,在三个数中找到中间值即可

int mid(int a,int b,int c)//找三个数的中间值
{
if(a>b){
	if(b>c)return b;
	else if(a>c)return c;
	else return a;
}
else{
	if(a>c)return a;
	else if(b>c)return c;
	else return b;
}
}

int mid_find(int *r,int n)//找出三个不同的数
{
	int a=r[0];
	int i=1;
	while(i<n&&r[i]==a)i++;
	if(i==n)return -1;
	int b=r[i];
	while(i<n&&r[i]==b)i++;
	if(i==n)return -1;
	int c=r[i];
	return mid(a,b,c);
}

3、n至少为多大时,n个1组成的整数能被2013整除
这个题我写着有那么亿丢丢缺点,long long 范围里的数都不能被2013整除
大整数的话,写着又很麻烦。如果有好的想法,欢迎探讨

int main()
{
	long long n=11111;
	while(n%2013){
		n*=10;
		n+=1;
	}
	cout<<n;
}

第二章算法分析基础

课后习题

1、考虑下面算法,回答下列问题,算法完成什么功能?算法的基本语句时什么?基本语句执行了多少次?

(1)

int Stery(int n)
{
	int S=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		S+=i*i;
	return S;
}

完成功能:计算 ∑ i = 1 n i 2 \sum_{i=1}^n i^2 i=1ni2
基本语句:S+=i*i;
算法复杂度: O ( n ) O(n) O(n)
(2)

int Q(int n)
{
	if(n==1)
		return 1;
	else
		return Q(n-1)+2*n-1;
}

完成功能: ∑ i = 1 n ( 2 n − 1 ) = n 2 \sum_{i=1}^n(2n-1)=n^2 i=1n(2n1)=n2
基础语句:2*n-1
时间复杂度: O ( n ) O(n) O(n)

2、分析以下程序段中基本语句的执行次数,要求列出计算公式

(1)

for(i=1;i<=n;i++)
	if(2*i<=n)
		for(j=2*i;j<=n;j++)
			y+=i*j;

基础语句:y+=i*j
执行次数: ∑ i = 1 n / 2 ( n − 2 i ) = n ( n − 2 ) 4 \sum_{i=1}^{n/2}(n-2i)=\frac{n(n-2)}{4} i=1n/2(n2i)=4n(n2)
时间复杂度: O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)
(2)

m=0;
for(i=1;i<=n;i++)
	for(j=1;j<=2*i;j++)
		m+=1;

基础语句:m+=1
执行次数: ∑ i = 1 n 2 i = n ( n + 1 ) \sum_{i=1}^n2i=n(n+1) i=1n2i=n(n+1)
时间复杂度: O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)

3、使用递归扩展技术求解下列公式

(1) T ( n ) = { 4 n = 1 3 T ( n − 1 ) n > 1 T(n) = \begin{cases} 4 &n=1 \\ 3T(n-1) & n>1 \\ \end{cases} T(n)={43T(n1)n=1n>1
解: T ( n ) = 3 T ( n − 1 ) = . . . = 3 n − 1 T ( 1 ) = 4 × 3 n − 1 T(n)=3T(n-1)=...=3^{n-1}T(1)=4×3^{n-1} T(n)=3T(n1)=...=3n1T(1)=4×3n1
(2) T ( n ) = { 1 n = 1 2 T ( n / 3 ) + n n > 1 T(n)= \begin{cases} 1 &n=1\\ 2T(n/3)+n &n>1\\ \end{cases} T(n)={12T(n/3)+nn=1n>1
解:令 n = 3 k n=3^k n=3k
T ( n ) = 2 T ( n / 3 ) + n = 2 ( 2 T ( n / 3 2 ) + n / 3 ) + n = . . . = 2 k ∑ i = 0 k ( 3 k / 2 i ) T(n)=2T(n/3)+n=2(2T(n/3^2)+n/3)+n=...=2^k\sum_{i=0}^k(3^k/2^i) T(n)=2T(n/3)+n=2(2T(n/32)+n/3)+n=...=2ki=0k(3k/2i)

第三章 蛮力法

课后习题

1、设计算法,在数组r[n]中删除所有元素值为x的元素,要求时间复杂性为 O ( n ) O(n) O(n),空间复杂性为 O ( 1 ) O(1) O(1)

void dlt(int r*,int n,int x)
{
	int j=0;
	for(int i=0;i<n;i++)
	{
		if(r[i]!=x)
		{
			r[j]=r[i];
			j++;
		]
	}
}

2、设计算法,将数组r[n]中删除重复元素,要求移动次数较少并使剩余元素的相对次序保持不变

算法思想:双重循环找重复值,将重复元素设置为固定值flag,再用上一题的代码删除即可

void dlt2(int r*,int n)
{
	flag=-1;
	for(int i=0;i<n;i++)
	{
		if(i==flag)continue;
		for(int j=i+1;j++)
		{
			if(a[i]==a[j])
				a[j]=flag;
		}
	}
	dlt(r,flag);
}

3、设表 A = { a 1 , a 2 , . . . , a n } A=\{a_1,a_2,...,a_n\} A={a1,a2,...,an},将A拆成B和C两个表,使A中值>=0的元素存入表B,值小于<0的元素存入表C,不外设空间,利用A的空间

算法思想:将A分为左边和右边,左边的数大于0,右边的数小于0即可

int divorce(int A*,int n)
{
	int i=0,j=n-1;
	while(i<j){
		while(A[i]>=0&&i<j)i++;//找到左边小于0的
		while(A[j]<0&&i<j)j--;//找到右边大于等于0的
		swap(A[i],A[j]);//交换
	}
}

第四章 分治法

课后习题

1、对于待排序列(5,3,1,9)分别画出归并和快排的递归运行轨迹

归并:
划分阶段:
(5,3,1,9)
(5,3),(1,9)
(5),(3),(1),(9)
归并阶段:
(3,5),(1,9)
(1,3,5,9)
快排:
(5,3,1,9)
5为基准点,将1与5交换
(1,3)5(9)
(1,3,5,9)

2、设计分治算法求数组最大元素,并分析时间性能

int Max(int *A,int low,int hight)
{
	if(low>hight)
		return -1;
	else if(low==hight)return A[low];
	int mid=(low+hight)/2;
	return max(Max(A,low,mid),Max(A,mid+1,hight));
}

算法复杂度: O ( n ) O(n) O(n)

3、在有序序列 ( r 1 , r 2 , . . . , r n ) (r_1,r_2,...,r_n) (r1,r2,...,rn)中存在需序号 i ( 1 < = i < = n ) i(1<=i<=n) i1<=i<=n使得 r i = n r_i=n ri=n,设计一个分治算法找到这个元素

int find(int *A,int low,int height)
{
 	if(low>hight)
		return -1;
	if(low==height)
	{
		if(A[low]==low) return low;
		else return -1;
	}
	int mid=(low+hight)/2;
	if(A[mid]=mid)
	{
		return mid;
	}
	else if(A[mid]>mid)
		return find(A,low,mid-1);
	else
	   return find(A,mid+1,height);
}

4、在一个序列中出现次数最多的元素称为众数,寻找众数

算法思想:先快排,再遍历一遍技术,算法复杂度为 O ( n l o g n + n ) = O ( n l o g n ) O(nlogn+n)=O(nlogn) O(nlogn+n)=O(nlogn)
快排函数:

int part(int* r, int low, int hight)  
{
	int i = low, j = hight, pivot = r[low]; 
	while (i < j)
	{
		while (i<j && r[j]>pivot) j--;
		if (i < j)	swap(r[i++], r[j]);  
		while (i < j && r[i] <= pivot) 	i++;
		if (i < j)	swap(r[i], r[j--]);  
	}
	return i;  
}
void Quicksort(int* r, int low, int hight)
{
	int mid;
	if (low < hight)
	{
		mid = part(r, low, hight);  // 返回基准元素位置
		Quicksort(r, low, mid - 1); // 左区间递归快速排序
		Quicksort(r, mid+1, hight); // 右区间递归快速排序
	}
}

查找众数函数

int mode(int A*,int n)
{
	Quicksort(A,0,n-1);
	int Max=0;
	for(int i=0;i<n;)
	{
		int t=a[i];
		int num=0;
		while(i<n&&t==a[i++])num++;
		Max=max(num,Max);
	}
	return Max;
}

第五章 减治法

课后习题

1、折半查找的递归算法,并分析时间性能

int divfind(int *A,int low,int hight,int x)
{
	if(low>height)
		return false;
	mid=(low+height)/2;
	if(A[mid]==x)
		return mid;
	else if(A[mid]>x)
		return divfind(A,low,mid-1);
	else
		return divfind(A,mid+1,height);
}

时间复杂度 O ( l o g 2 n ) O(log_2n) O(log2n)

2、120硬币问题

我没看懂那个算法,有看懂的大佬麻烦讲一下,比心~
以下为硬币算法的链接:小球称重

第六章 动态规划

课后习题

1、为什么动态规划法需要填表?如何设计表的结构?

动态规划本身是空间换时间,存在表格里,可以减少相同的计算,大大缩短计算时间
表的结构:
一般状态量为表的行
决策量为表的列

2、动态规划求0->12最短路径

Alt
Alt

第7章 贪心法

课后习题

1.贪心法求背包问题,有7个物品,重量分别为(2,3,5,7,1,4,1),对应价值为(10,5,15,7,6,18,3)背包容量W=15,写出求解过程

解题思路:贪心的本质为优先选择单位价值最重的
根据单位价值进行排序得:

物品编号 重量 价值 单位价值
5 1 6 6
1 2 10 5
6 4 18 4.5
3 5 15 3
7 1 3 3
2 3 5 1.7
4 7 7 1

先装5号物品背包已装容量为1,价值为6
再装1号物品背包已装容量为3,价值为16
装6号物品背包已装容量7,价值为34
装3号物品背包已装容量12,价值为49
装7号物品背包已装容量13,价值为52
装2号物品背包已装容量16>15,结束
最优解为{1,0,1,0,1,1,1}

2、 最短链接求TSP

#include<stdio.h>
#include<iostream>
#include<malloc.h> 
using namespace std;


//查找最小边函数  Search 
pair<int,int> Search(int **A,int N,int *flag,int **AF) { //查找最小边

 int min=10e5,a=0,b=0;
 for(int i=0; i<N; i++) {
  for(int j=0; j<i; j++) {
   if(!AF[i][j]&&flag[i]<2&&flag[j]<2&& A[i][j]<min) {//如果这条边没有走过,两边的城市没有同时有两个被走过的边 
    a=i; 
    b=j;
    min=A[i][j];//依次比较 
   }
  }
 }
 flag[a]++;
 flag[b]++;
 AF[a][b]=1;
 return pair<int,int>(a,b);
}



//TSP2
int TSP2(int **A,int N,int *flag,int **AF) {
 int tsp=0,i,j,k;
 for(k=0; k<N; k++) {//选择N次最短边 
  pair<int,int> a=Search(A,N,flag,AF);
  tsp+=A[a.first][a.second];//每次加入最增的最短边 
 }
 return tsp;
}




int main() 
 {
 	
 	//N初始化
	 int N=5; 
 	
	 	
 	//A初始化(城市之间的距离)
 	int **A=(int **)malloc(N*sizeof(int));
	cout<<"输入5个城市之间的距离(0表示城市间不通):"<<endl;
	for(int i=0;i<N;i++)
	{
		A[i]=(int*)malloc(N*sizeof(int));
		for(int j=0;j<N;j++)
		{
			cin>>A[i][j];
		}
	}		 
	
		
	//AF初始化,记录边是否走过 
	int **AF=(int **)malloc(N*sizeof(int));//记是否边走过,初始值设为0,走过设为1
	for(int i=0;i<N;i++)
	{
		AF[i]=(int*)malloc(N*sizeof(int));
		for(int j=0;j<N;j++)
		{
			AF[i][j]=0;
		}
	}
 	  
 	  
 	//flag初始化,记录城市是否走过 
	int *flag=(int *)malloc(N*sizeof(int));//标记是否城市走过,初始值设为0,走进去又走出来成为2 
    for(int i=0;i<N;i++)//设置flag的初值 
	{
		flag[i]=0;
	}
	   
	  	  
    cout<<"最短路径长度:";
	cout<<TSP2(A,N,flag,AF);
 }

3、n个顾客等待问题,使得顾客总等待时间最少

算法思想:快排一下,时间最少的排前面。

4、17/18、11/12埃及分数问题

埃及分数流程:
E=B/A+1;
输出1/E;
A=AE-B;
B
=E;
消除A,B最大公约数;
直到A=1,输出1/B;

第八章 回溯法

课后习题

1、回溯法求解三着色问题

2、回溯法求解作业问题

3、迷宫问题

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