文心一言 VS 讯飞星火 VS chatgpt （35）-- 算法导论5.3 5题
五、证明:在过程 PERMUTE-BY-SORTING的数组 P中，所有元素都唯一的概率至少是1-1/n。
文心一言：
证明：
在过程PERMUTE-BY-SORTING中，对于输入数组P中的每个元素，其出现次数为1，因此对于每个元素，在排序后的数组中，它出现的位置是唯一的。
假设在排序后的数组中，有两个元素a和b，它们在原始数组P中的位置分别为i和j，且i eq j。由于排序是稳定的，因此在排序后的数组中，a和b仍然会分别出现在它们在原始数组中的位置。因此，如果存在两个不同的元素在排序后的数组中具有相同的值，则它们在原始数组中的位置必定不同。
由于在原始数组中，每个元素的出现次数为1，因此在排序后的数组中，每个元素在排序后出现的次数也为1。因此，如果两个不同的元素在排序后的数组中具有相同的值，则在原始数组中它们的出现位置也必定不同。
因此，在过程PERMUTE-BY-SORTING中，对于输入数组P中的每个元素，在排序后的数组中，它出现的位置是唯一的。由于每个元素的出现次数为1，因此所有元素都唯一的概率至少是1-1/n。
讯飞星火：
【详解】
设 P i P_{i} Pi为排列 { P 1 , P 2 , ⋯ , P n } \left\{ P_{1}{,}P_{2}{,\cdots ,}P_{n}\right\} {P1,P2,⋯,Pn}中，所有元素都唯一的概率。
当 n = 2 k n{=}2^{k} n=2k时，在数组 P 1 , P 2 , ⋯ , P n P_{1}{,}P_{2}{,\cdots ,}P_{n} P1,P2,⋯,Pn中，任取两个不同的元素 P i 、 P j P_{i}{、}P_{j} Pi、Pj,则由乘法原理知，其组合数为 C n 2 = C 2 k 2 = 2 k ( 2 k − 1 ) 2 = k ( 2 k − 1 ) C_{n}^{2}{=}C_{2k2}{=}\dfrac{2k(2k{-}1)}{2}{=}k(2k{-}1) Cn2=C2k2=22k(2k−1)=k(2k−1).
若这两个元素在数组 P 1 , P 2 , ⋯ , P n P_{1}{,}P_{2}{,\cdots ,}P_{n} P1,P2,⋯,Pn中不唯一，则它们必有公共元素 P m P_{m} Pm.从而，这两个元素的全排列个数为 A m 2 A_{m}^{2} Am2.
于是，由加法原理得 ∑ i < j < n ( i < j ) = ∑ i < j < 2 k ( i < j ) = ∑ i = 12 k C 2 k i − 1 ⋅ ( i − 1 ) = ∑ i = 12 k ( i − 1 ) ⋅ C 2 k i − 1 \sum\limits_{i{< }j{< }}^{n}{(i{< }j)}{=}\sum\limits_{i{< }j{< }}^{2k}{(i{< }j)}{=}\sum\limits_{i{=}12k}{C_{2k}^{i{-}1}{\cdot }(i{-}1){=}\sum\limits_{i{=}12k}{(i{-}1){\cdot }C_{2k}^{i{-}1}}} i<j<∑n(i<j)=i<j<∑2k(i<j)=i=12k∑C2ki−1⋅(i−1)=i=12k∑(i−1)⋅C2ki−1
= ( 0 + 1 + 2 + ⋯ + 2 k − 1 ) ⋅ ∑ i = 1 2 k C 2 k i − 1 = ( 0 + 1 + 2 + ⋯ + 2 k − 1 ) ⋅ 1 2 ⋅ ( 1 + 2 k − 1 ) ⋅ ( 2 k − 1 ) ! = ( 2 k − 1 ) ( 2 k ) ! {=}(0{+}1{+}2{+}\cdots {+}2k{-}1){\cdot }\sum\limits_{i{=}1}^{2k}{C_{2ki{-}1}{=}(0{+}1{+}2{+}\cdots {+}2k{-}1)}{\cdot }\dfrac{1}{2}{\cdot }(1{+}2k{-}1){\cdot }(2k{-}1)!{=}(2k{-}1)(2k)! =(0+1+2+⋯+2k−1)⋅i=1∑2kC2ki−1=(0+1+2+⋯+2k−1)⋅21⋅(1+2k−1)⋅(2k−1)!=(2k−1)(2k)!.
所以， P i 、 P j P_{i}{、}P_{j} Pi、Pj不唯一的概率为 ( 2 k − 1 ) ( 2 k ) ! k ( 2 k − 1 ) = ( 2 k − 1 ) ! \dfrac{(2k{-}1)(2k)!}{k(2k{-}1)}{=}(2k{-}1)! k(2k−1)(2k−1)(2k)!=(2k−1)!.
因此， P i P_{i} Pi为排列 { P 1 , P 2 , ⋯ , P n } \left\{ P_{1}{,}P_{2}{,\cdots ,}P_{n}\right\} {P1,P2,⋯,Pn}中，所有元素都唯一的概率为 1 − [ ( n − 1 ) ! ] 1{-}[(n{-}1)!] 1−[(n−1)!].
当 n = 3 t n{=}3^{t} n=3t时，在数组 P 1 , P 2 , ⋯ , P n P_{1}{,}P_{2}{,\cdots ,}P_{n} P1,P2,⋯,Pn中，任取三个不同的元素 P i 、 P j 、 P r P_{i}{、}P_{j}{、}P_{r} Pi、Pj、Pr,则由乘法原理知，其组合数为 C 3 t 3 = 3 t C_{\mathrm{3}^{\mathrm{t}}3}{=}3^{\mathrm{t}} C3t3=3t.
若这三个元素在数组 P 1 , P 2 , ⋯ , P n P_{1}{,}P_{2}{,\cdots ,}P_{n} P1,P2,⋯,Pn中不唯一，则它们必有公共元素 P μ P_{\mu} Pμ.从而，这三个元素的全排列个数为 A μ 3 A_{\mu}^{3} Aμ3.于是，由加法原理得KaTeX parse error: Expected '}', got 'EOF' at end of input: …athrm{\theta})}
其中， θ = 3 t 3 + 3 t 3 + 3 t 3 + ⋯ + 3 t 3 \theta{=}3^{\frac{\mathrm{t}}{3}}{+}3^{\frac{\mathrm{t}}{3}}{+}3^{\frac{\mathrm{t}}{3}}{+\cdots +}3^{\frac{\mathrm{t}}{3}} θ=33t+33t+33t+⋯+33t为小于或等于 θ \theta θ的正整数。
所以， P μ 、 P j 、 P r P_{\mu}{、}P_{j}{、}P_{r} Pμ、Pj、Pr不唯一的概率为KaTeX parse error: Unexpected end of input in a macro argument, expected '}' at end of input: …thrm{\theta})}..
因此， P μ P_{\mu} Pμ为排列 { P 1 , P 2 , ⋯ , P ∞ } \left\{ P_{1}{,}P_{2}{,\cdots ,}P_{\infty}\right\} {P1,P2,⋯,P∞}中，所有元素都唯一的概率为 1 − [ ∏ π = 1 π 3 ( π + 3 π 3 ) ] 1{-}[\prod_{\pi{=}1}^{\frac{\pi}{3}}(\pi{+}3^{\frac{\pi}{3}})] 1−[∏π=13π(π+33π)].
综上所述，结论得证。
见解析
华为盘古：
在过程 PERMUTE-BY-SORTING 的数组 P 中，所有元素都唯一的概率至少是 1-1/n。
这是因为在 PERMUTE-BY-SORTING 中，每个操作都会产生一个唯一的输出，并且数组中元素的值是有序的。这意味着每个操作都会在数组中找到一个位置，使得它的输入等于该位置的值。因此，我们可以将数组看作一个线性表，其中每个元素代表操作 f ( x ) f(x) f(x)，它的输出是 f ( x ) f(x) f(x) 到 f ( x ) f(x) f(x) 的线性组合。
对于数组中的任意一个元素 a a a，它的值是唯一的，因为它在数组中的位置是唯一的。同样地，对于数组中的任意一个操作 b b b，它的输出也是唯一的，因为它在数组中的位置是唯一的。因此，我们可以证明，在 PERMUTE-BY-SORTING 中，所有元素都唯一的概率至少是 1-1/n。
360智脑：
假设P是随机排序后得到的数组,其中每个元素的值都是唯一的。首先考虑一个不重复的有序数组,这个数组只有一个。对于这种情况,我们可以得到以下结论:
如果P中的所有元素都是唯一的,那么P就是由[0, n]中的整数组成的排列。
因此,如果P中没有重复的元素,那么这个数组一定是一个排列。因为排列的定义就是可以任意交换各个元素的位置而不改变其顺序。所以,P中所有元素都唯一的概率至少是1 - 1/n。
chatglm：
过程 PERMUTE-BY-SORTING 的基本思想是，首先将输入数组 P 按升序排列，然后对每一对相邻的元素进行交换，直到所有元素都唯一为止。
我们可以用 U(n) 表示所有不重复元素的集合，V(n) 表示所有重复元素的集合。假设数组 P 中所有元素都唯一，那么 U(n) ⊆ P ⊆ V(n)。我们的目标是证明 U(n) ⊆ P。
首先，我们证明 U(n) ⊆ P ⊆ V(n)。对于任意不重复元素 a，在数组 P 中一定存在一个位置 i，使得 a 在第 i 个位置。由于 P 是升序排列的，我们可以将 a 与第 i+1 个元素进行比较，如果它们相等，则交换它们的位置，否则不交换。重复这个过程，直到 a 与第 n 个元素不相等。这样，a 在第 i 个位置时，与第 i+1 个元素不相等的概率是 1/n。因此，在数组 P 中，所有元素都唯一的概率至少是 1-1/n。
接下来，我们证明 V(n) ⊆ P。对于任意重复元素 a，在数组 P 中，它一定出现在某个位置 i 上。由于 P 是升序排列的，我们可以将 a 与第 i+1 个元素进行比较，如果它们相等，则交换它们的位置，否则不交换。这样，a 出现在第 i 个位置的概率是 1/n。因此，在数组 P 中，所有元素都唯一的概率至少是 1-1/n。
综上所述，我们证明了 U(n) ⊆ P ⊆ V(n)。由于 U(n) ⊆ P 和 V(n) ⊆ P，因此 U(n) ⊆ P 的概率至少是 1-1/n。
chatgpt：
假设数组P的长度为n，后面的i指数组P的第i个元素。
在过程PERMUTE-BY-SORTING中，假设第i次迭代中第j个元素与第k个元素进行了交换，其中j < k。
由于每对元素交换的概率是1/n，因此在第i次迭代中，任意一对（j，k）被交换的概率为1/n。
因此，在第i次迭代中，交换发生的任何一对元素（j，k）都是n(n-1)/2个可能交换中的一个，因此，在对i从1到n-1循环迭代期间，P中任意两个位置的元素都以相等的概率交换，因为每一次交换都是相互独立的。
所以我们可以得出结论：对于一个长度为n的数组P，经过PERMUTE-BY-SORTING操作使得数组P中所有元素排列的概率至少为1-1/n。
证明如下：
对于从P的第2个元素开始到最后一个，让Pi通过与Pj交换 (j >= i)，得到了n-1个排列。
对于每个位置i，可以将Pi设为数组P中的任意元素，则所有n!种情况中只有一种情况是所有元素都唯一的。
而在PERMUTE-BY-SORTING操作中，对于每个位置i，Pi最多与Pn交换一次（即只要它不与Pn相同），因此，对于每个位置i，每对Pi和Pj（j > i）的交换共计发生O(1)次，因为一旦元素被交换，它们就不会再次交换。
因此，所有n!种可能的排列中，所有元素都唯一的排列数量是PERMUTE-BY-SORTING操作后的排列数量的较小值，即n!和每对Pi和Pj的交换次数的积的较小值。通过求解得出：
P r [ 所有元素都唯一 ] ≥ 1 − 1 n ! ≥ 1 − 1 e ≥ 1 − 1 n Pr[\text{所有元素都唯一}] \geq 1 - \frac{1}{n!} \\ \geq 1 - \frac{1}{e} \\ \geq 1 - \frac{1}{n} Pr[所有元素都唯一]≥1−n!1≥1−e1≥1−n1
因此，所有元素都唯一的概率至少是1-1/n，证毕。
