有关偏序的概念

偏序

偏序：定义在一个集合S上的关系R，满足自反、反对称、传递，R就是偏序。

偏序集：集合S和S上的关系R一起成为偏序集，记作（S，R）

1. 比如整数集合上的≥关系、正整数集合Z⁺上的整除关系…见离散数学及其应用P543
2. ≼表示任意一个偏序集中的序关系（抽象意义上的“小于等于”）。使用这个符号是因为“≤”关系是一种典型的偏序。
3. a≺b表示a≼b但a≠b

全序集/线序集：（S，≼）满足偏序集；S上的每对元素都是可比的。S称为全序集或线序集，≼成为全序或线序。一个全序集也成为链

可比：如果偏序集中两个元素a和b有a≼b或b≼a，则a和b是可比的。否则a和b是不可比的

良序：对于（S，≼），≼是全序；且S的每一个非空子集都有一个最小元素

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根据偏序集构造哈塞图步骤：

1. 移除表示自反关系的环
2. 移走表示传递性的边
3. 排列每条边，使得起点在终点的下方
4. 移除有向边上的所有箭头

覆盖：（S，≼）是一个偏序集。x≺y且不存在z∈S使得x≺z≺y，则称元素y∈S覆盖元素x∈S

覆盖关系：y覆盖x的有序对（x，y）的集合

极大元：不存在b∈S使得a≺b，a就是偏序集（S，≼）中的极大元

极小元：不存在b∈S使得b≺a，a就是偏序集（S，≼）中的极小元

极大元、极小元分别对应哈塞图的“顶”元素、“底”元素

最大元：偏序集（S，≼），对于所有的b∈S都有b≼a，a是最大元

最小元：偏序集（S，≼），对于所有的b∈S都有a≼b，a是最小元

根据定义可知，最大元、最小元是唯一的

上界：偏序集（S，≼），u∈S，A是偏序集的子集。对于所有的a∈A，都有a≼u，称u是A的一个上界

下界：同理，对于l∈S，对于所有的a∈A，l≼a，称l是A的一个下界

最小上界：任意a∈A有a≼x，并且对于A的任意上界z有x≼z，x就是A的最小上界

元素a是子集A的最小上界，如果a是A的上界，且a小于其他上界。

最大下界：任意a∈A有y≼a，并且对于A的任意下界z有z≼y，y就是A的最小上界

元素a是子集A的最小上界，如果a是A的上界，且a小于其他上界。

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关于最小上界x、最大下界y是否属于子集A：不一定。但是x、y一定要属于S
最小上界、最大下界也是唯一的

A的最小上界least upper bound：简记为lub(A)；最大下界greatest lower bound：glb(A)