每日一题之打家劫舍II

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你是一个专业的小偷，计划偷窃沿街的房屋，每间房内都藏有一定的现金。这个地方所有的房屋都 围成一圈 ，这意味着第一个房屋和最后一个房屋是紧挨着的。同时，相邻的房屋装有相互连通的防盗系统，如果两间相邻的房屋在同一晚上被小偷闯入，系统会自动报警 。

给定一个代表每个房屋存放金额的非负整数数组，计算你 在不触动警报装置的情况下 ，今晚能够偷窃到的最高金额。

示例 1：

输入：nums = [2,3,2]
输出：3
解释：你不能先偷窃 1 号房屋（金额 = 2），然后偷窃 3 号房屋（金额 = 2）, 因为他们是相邻的。

示例 2：

输入：nums = [1,2,3,1]
输出：4
解释：你可以先偷窃 1 号房屋（金额 = 1），然后偷窃 3 号房屋（金额 = 3）。
     偷窃到的最高金额 = 1 + 3 = 4 。

示例 3：

输入：nums = [1,2,3]
输出：3

提示：

• 1 <= nums.length <= 100
• 0 <= nums[i] <= 1000

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这个问题的关键是如何处理房屋围成一圈的情况。如果房屋是线性排列的，那么问题就比较简单，可以用动态规划的方法解决。动态规划的思想是，用一个数组dp来记录每间房屋能偷到的最大金额，然后根据状态转移方程来更新dp。状态转移方程是：

dp[i] = max(dp[i-1], dp[i-2] + nums[i])

这个方程的意思是，对于第i间房屋，有两种选择：偷或不偷。如果偷，那么就不能偷第i-1间房屋，所以最大金额是dp[i-2] + nums[i]；如果不偷，那么就可以偷第i-1间房屋，所以最大金额是dp[i-1]。我们要取两者的较大值作为dp[i]。

但是，如果房屋是围成一圈的，那么就不能同时偷第一间和最后一间房屋，否则会触发报警。

所以，我们要将问题分解为两个子问题：偷第一间到倒数第二间房屋，或者偷第二间到最后一间房屋。这样就相当于把圆形的房屋变成了两个线性排列的房屋，然后分别用动态规划的方法求解，最后取两者的较大值作为最终答案。

# 定义一个函数，用来计算不围成一圈时的最大金额
def rob(nums):
    # 如果没有房屋，返回0
    if not nums:
        return 0
    # 如果只有一间房屋，返回它的金额
    if len(nums) == 1:
        return nums[0]
    # 初始化动态规划数组
    dp = [0] * len(nums)
    # 第一间房屋只能偷它自己
    dp[0] = nums[0]
    # 第二间房屋可以选择偷或不偷
    dp[1] = max(nums[0], nums[1])
    # 从第三间房屋开始，可以选择偷或不偷，取决于前两间房屋的最大金额
    for i in range(2, len(nums)):
        dp[i] = max(dp[i-1], dp[i-2] + nums[i])
    # 返回最后一间房屋的最大金额
    return dp[-1]

# 定义一个函数，用来计算围成一圈时的最大金额
def rob_circle(nums):
    # 如果没有房屋，返回0
    if not nums:
        return 0
    # 如果只有一间房屋，返回它的金额
    if len(nums) == 1:
        return nums[0]
    # 如果有两间或以上的房屋，分为两种情况：偷第一间到倒数第二间，或者偷第二间到最后一间
    return max(rob(nums[:-1]), rob(nums[1:]))