【算法思维】-- 贪心算法

OJ须知：

• 一般而言，OJ在1s内能接受的算法时间复杂度：10e8 ~ 10e9之间（中值5*10e8）。在竞赛中，一般认为计算机1秒能执行 5*10e8 次计算。

时间复杂度	取值范围
o(log2n)	大的离谱
O(n)	10e8
O(nlog(n))	10e6
O(nsqrt(n)))	10e5
O(n^2)	5000
O(n^3)	300
O(2^n)	25
O(3^n)	15
O(n!)	11

时间复杂度排序：o(1) < o(log2n) < o(n) < o(nlog2n) < o(n^2) < o(n^3) < o(2^n) < o(2^n) < o(3^n) < o(n!)

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目录

算法思想

算法局限性

过程

案例

平衡分割字符串⭐

方法一：贪心

复杂度分析

买股票的最佳时机2⭐⭐

方法一：贪心 

复杂度分析

跳跃游戏⭐⭐

方法一：贪心（nums[i] == 0为核心）

复杂度分析

方法二：贪心（nums[i]为核心）

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算法思想

        贪心算法（又称贪婪算法）是指，在对问题求解时，总是做出在当前看来是最好的选择。也就是说，不从整体最优上加以考虑，他所做出的是在某种意义上的局部最优解。

融汇贯通的理解：

        贪心算法是不会考虑全局的，其每一步都会确定当前其所看到的场景下的最优的一个解  —— 整个贪心问题的解：每一步的最优解叠加之后的结果。

        有一个概念，就叫做最优子结构：每一个子问题，其的最优解最终叠加之后，能够作为最终问题的解，那就是最优子结构。

融汇贯通的理解：

        所以，如果想用贪心算法，首先就要去确定一下，这个问题是不是最优子结构。（将问题进行一定的缩小，查看缩小版是否符合最优子结构）

算法局限性

        用贪心算法的时候，其如果不是一个最优子结构，那我们得到的这一个解，其不一定是全局的一个最优解，有可能是一个局部的最优解。

• 不能保证求得的最后解是最佳的
• 不能用来求最大值或最小值的问题
• 只能求满足某些约束条件的可行解的范围比

过程

1. 建立数学模型来描述问题
2. 把求解的问题分成若干个子问题
3. 对每一子问题求解，得到子问题的局部最优解
4. 把子问题的局部最优解合成原来解问题的一个解

        说白了就是：假设一个问题比较复杂，暂时找不到全局最优解，那么我们可以考虑把原问题拆成几个小问题（分而治之的思想），分别求每个小问题的最优解，再把这些 “局部最优解” 叠起来，就 “当作” 整个问题的最优解了。

案例

        在我们排序所学知识中，选择排序就很好的诠释了贪心算法的使用。

        其每一次的排序都是选择未排序的区间内的最小值。 所以这个地方每一个子问题，其的最优解最终叠加之后，能够作为最终问题的解，所以是一个最优子结构。

//直接插入排序
// 对比 插入排序，谁更小。
void SelectSort(int* a, int n)
{
	assert(a);
	int begin_i = 0, end_i = n - 1;
	while (begin_i < end_i)
	{
        // 贪心算法: 每次从未排序数组中找到最小值
		int min_i = begin_i;
		for (int i = begin_i + 1; i <= end_i; ++i)
		{
			if (a[i] < a[min_i])
				min_i = i;
		}

		Swap(&a[begin_i], &a[min_i]);
		++begin_i;
	}
}

        贪心算法：每次找当前情况的最优解，不用考虑上一步是什么 / 下一步是什么。

平衡分割字符串⭐

1221. 分割平衡字符串 - 力扣（LeetCode）

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平衡字符串 中，'L' 和 'R' 字符的数量是相同的。

给你一个平衡字符串 s，请你将它分割成尽可能多的子字符串，并满足：

        每个子字符串都是平衡字符串。
返回可以通过分割得到的平衡字符串的 最大数量 。

提示：

• 2 <= s.length <= 1000
• s[i] = 'L' 或 'R'
• s 是一个 平衡 字符串

方法一：贪心

抽象题中线索：

• 整体策略：不能让平衡字符串嵌套
• 当前情况决策：当前情况下的字符串，是否符合平衡分割字符串

class Solution {
public:
    int balancedStringSplit(string s) {
        int ret = 0;
        int balance = 0;
        for(auto ch : s)
        {
            // 当前情况决策: 当前情况下的字符串，是否符合平衡分割字符串
            ch == 'L' ? balance++ : balance--;
            if(balance == 0) ret++;
        }
        return ret;
    }
};

复杂度分析

• 时间复杂度：O(n)。
• 空间复杂度：O(1)。

买股票的最佳时机2⭐⭐

122. 买卖股票的最佳时机 II

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给你一个整数数组 prices ，其中 prices[i] 表示某支股票第 i 天的价格。

在每一天，你可以决定是否购买和/或出售股票。你在任何时候 最多 只能持有 一股 股票。你

也可以先购买，然后在 同一天 出售。

返回 你能获得的 最大 利润 。

提示：

• 1 <= prices.length <= 3 * 10e4
• 0 <= prices[i] <= 104

方法一：贪心 

抽象题中线索：

• 整体策略：不能股票的购买售出嵌套
• 当前情况决策：当前情况下的股票以最低价买入，然后以高价售出

就是判断趋势：

• 连续上涨：上涨的最低点买入，上涨的最高点卖出 —— 上涨区间中买卖绝对利润相同。
• 连续下跌：不进行买卖。

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector& prices) {
        int profit = 0;
        int buy = prices[0];
        int sell = 0;
        for(int i = 1; i < prices.size(); i++)
        {
            // 判断趋势
            if(prices[i] > prices[i - 1]) profit += prices[i] - prices[i - 1];
        }
        return profit;
    }
};

复杂度分析

• 时间复杂度：O(n)。
• 空间复杂度：O(1)。

跳跃游戏⭐⭐

55. 跳跃游戏 - 力扣（LeetCode）

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给定一个非负整数数组 nums ，你最初位于数组的 第一个下标 。

数组中的每个元素代表你在该位置可以跳跃的最大长度。

判断你是否能够到达最后一个下标。

提示：

• 1 <= nums.length <= 3 * 10e4
• 0 <= nums[i] <= 105

方法一：贪心（nums[i] == 0为核心）

抽象题中线索：

• 整体策略：不要嵌套nums[i] == 0。
• 当前情况决策：当前情况下有nums[i] == 0，其前面的最大值是否跨的过。

需要注意：最后一个数据为0，不用提出，已经到最后了。

class Solution {
public:
    bool canJump(vector& nums) {
        int max = 0;
        for(int i = 0; i < nums.size() - 1; i++)
        {
            // 当前情况决策: 当前情况下有nums[i] == 0，其前面的最大值是否跨的过
            if(nums[i] + i > max) max = nums[i] + i;
            if(nums[i] == 0)
                if(max > i) 
                    continue;
                else 
                    return false;
        }
        return true;
    }
};

        max_i 位置很有可能已经完全足够到达最后，所以我们可以增加以一次判断。

class Solution {
public:
    bool canJump(vector& nums) {
        int max_i = 0;
        for(int i = 0; i < nums.size() - 1; i++)
        {
            // 当前情况决策: 当前情况下有nums[i] == 0，其前面的最大值是否跨的过
            if(nums[i] + i > max_i)
                if((max_i = nums[i] + i) >= nums.size() - 1) return true;
            if(nums[i] == 0)
                if(max_i > i) 
                    continue;
                else 
                    return false;
        }
        return true;
    }
};

复杂度分析

• 时间复杂度：O(n)。
• 空间复杂度：O(1)。

方法二：贪心（nums[i]为核心）

抽象题中线索：

• 整体策略：不要嵌套nums[i + 1]。
• 当前情况决策：当前位置 i 前述最大值是否可以到达。

class Solution {
public:
    bool canJump(vector& nums) {
        int max_i = 0;
        for(int i = 0; i < nums.size(); i++)
        {
            // 当前情况决策: 当前位置 i 前述最大值是否可以到达。
            if(max_i >= i)
            {
                max_i = max(max_i, nums[i] + i);
                // max_i 位置已经完全足够到达最后
                if(max_i >= nums.size() - 1) return true;
            }
            else return false;
        }
        return true;
    }
};