14.数据结构之多路查找树与堆

前言

之前介绍的都是二叉查找树，二叉树一个节点最多有两个子节点，那么多于两个节点是什么情况呢，这就是我们本节要介绍的多路查找树。

多路查找树，也是我们数据库mysql底层索引维护方式。下面，我们来详细介绍。

1. B 树

1.1 定义

1.1.1 多路查找树

多路查找树(muitl-way search tree)，其每一个节点的孩子数可以多于两个，且每一个节点处可以存储多个元素。

1.1.2 B 树

B树（BalanceTree）是对二叉查找树的改进。它的设计思想是，将相关数据尽量集中在一起，以便一次读取多个数据，减少硬盘操作次数。

1.2 特征

一棵m阶的B 树 (m叉树)的特性如下：

1. B树中所有节点的孩子节点数中的最大值称为B树的阶，记为M
2. 树中的每个节点至多有M棵子树 —即：如果定了M，则这个B树中任何节点的子节点数量都不能超过M
3. 若根节点不是终端节点，则至少有两棵子树
4. 除根节点和叶节点外，所有点至少有m/2棵子树
5. 所有的叶子结点都位于同一层

2. B+ 树

2.1 特征

B+树是B-树的变体，也是一种多路搜索树，其定义基本与B树相同，它的自身特征是：

1. 非叶子结点的子树指针与关键字个数相同
2. 非叶子结点的子树指针P[i]，指向关键字值属于[K[i], K[i+1])的子树
3. 为所有叶子结点增加一个链指针
4. 所有关键字都在叶子结点出现

2.2 B和B+的区别

1. B树和B+树的最大区别在于非叶子节点是否存储数据的问题。
2. B树是非叶子节点和叶子节点都会存储数据。
3. B+树只有叶子节点才会存储数据，而且存储的数据都是在一行上，而且这些数据都是有指针指向的，也就是有顺序的。

2.3 应用

2.3.1 MySQL索引B+Tree

1. B树是为了磁盘或其它存储设备而设计的一种多叉平衡查找树。
2. B树的高度一般都是在2-4这个高度，树的高度直接影响IO读写的次数。
3. 如果是三层树结构，支撑的数据可以达到20G；如果是四层树结构，支撑的数据可以达到几十T

3. 二叉堆

二叉堆本质上是一种完全二叉树，它分为两个类型

3.1 定义

3.1.1 大顶堆(最大堆)

最大堆的任何一个父节点的值，都大于或等于它左、右孩子节点的值。

3.1.2 小顶堆(最小堆)

最小堆的任何一个父节点的值，都小于或等于它左、右孩子节点的值。

3.2 存储原理

完全二叉树比较适合用数组来存储。用数组来存储完全二叉树是非常节省存储空间的。因为不需要存储左右子节点的指针，单纯地通过数组的下标，就可以找到一个节点的左右子节点和父节点。

如上图所示，数组中下标为 i 的节点的左子节点，就是下标为 i∗2 的节点，右子节点就是下标为 i∗2+1 的节点，父节点就是下标为 i/2 取整的节点。

3.3 二叉堆的典型应用

1. 优先队列
2. 利用堆求 Top K问题
   在一个包含 n 个数据的数组中，我们可以维护一个大小为 K 的小顶堆，顺序遍历数组，从数组中取出数据与堆顶元素比较。如果比堆顶元素大，我们就把堆顶元素删除，并且将这个元素插入到堆中；如果比堆顶元素小，则不做处理，继续遍历数组。这样等数组中的数据都遍历完之后，堆中的数据就是前 K 大数据了