容斥原理（数论）

容斥原理

如上图所示：
$$\begin{array}{rl}|s_1\cup s_2\cup s_3|& =|s_1|+|s_2|+|s_3|-|s_1\cap s_2|-|s_1\cap s_3|-|s_2\cap s_3|+|s_1\cap s_2\cap s_3|\end{array}$$
时间复杂度：
$C_n^1+C_n^2+C_n^3+\cdots +C_n^n$
因为$C_n^0+C_n^1+C_n^2+C_n^3+\cdots +C_n^n=2^n$,等式的左右两边都是等于从n个中选任意多个数的方案，$2$表示第$i$个到底选不选的方案数，$2^n$就表示$n$个中选不选对应数的方案数。
所以$C_n^1+C_n^2+C_n^3+\cdots +C_n^n=2^n-C_n^0=2^n-1$

同理存在等式：$C_k^1-C_k^2+C_k^3-C_k^4+\cdots +(-1{)}^{k-1}{C}_k^k=1$
所以$|s_1\cup s_2\cup s_3|={\sum }_i|s_i|-{\sum }_{i\cdot j}|s_i\cap s_j|+{\sum }_{ijk}|s_i\cap s_j\cap s_k|-\cdots$

能被整除的数

题解：

这里主要用二进制数表示某个数是否被选，1代表被选，0代表不被选，二进制中1的个数为奇数，说明为奇数个集合相交，前面的符号为+，反之为偶数个集合相交，前面的符号为-。

import java.io.*;

public class Main{
    static int N=20;
    static int[] p=new int[N];
    public static void main(String[] args)throws IOException{
        BufferedReader in=new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
        String[] strs=in.readLine().split(" ");
        int n=Integer.parseInt(strs[0]);
        int m=Integer.parseInt(strs[1]);
        strs=in.readLine().split(" ");
        for(int i=0;i<m;i++)p[i]=Integer.parseInt(strs[i]);
        
        int res=0;
        for(int i=1;i<(1<<m);i++){
            int t=1;
            int cnt=0;
            for(int j=0;j<m;j++){
                if((i>>j&1)==1){
                    cnt++;
                    if((long)t*p[j]>n){
                        t=-1;
                        break;
                    }
                    t=t*p[j];
                }
            }
            if(t!=-1){
                if(cnt%2==0)res-=n/t;
                else res+=n/t;
            }
        }
        System.out.println(res);
    }
}