动态规划之01背包问题

01背包问题

题目

有 $N$ 件物品和一个容量为 $V$ 的背包。放入第 $i$ 件物品耗费的费用是 $C_i$，得到的价值是 $W_i$。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。

基本思路

题目特点：每种物品仅一件，可以选择放或不放。

子问题定义状态：$F[i,v]$ 表示前 $i$ 件物品正好放入一个容量为 $v$ 的背包可以获得的最大价值。

状态转移方程：
$$F[i,v]=max\{F[i-1,v],F[i-1,v-C_i]+W_i\}$$

模板：

typedef long long ll;
const ll Inf = 0x3f3f3f3f;

ll ZeroOnePack(ll F[], ll C, ll W, ll Cap, ll sumW)
{
    for(int v = Cap; v >= max(Cap - sumW, C); v--)
        F[v] = max(F[v], F[v - C] + W);
}

ll Solve(const ll C[], const ll W[], const int N, const int Cap)
{
    ll F[Cap+1];
    //非恰好装满初始化
    memset(F,0,sizeof(F)); 
    //恰好装满初始化
    // for(int i=0;i<=V;i++)
    //     F[i] = -Inf;
    // F[0] = 0;

    ll sumW = 0;//常数优化
    for(int i=1; i <= N; i++)
        sumW += W[i];
    for(int i=1; i <= N; i++)
    {
        ZeroOnePack(F, C[i], W[i], Cap, sumW);
        sumW -= W[i];
    }
    return F[Cap];
}