曲线曲面基础：5.张量积曲面

曲线$C(u)$是单参数的矢值函数，它是由直线段到三维欧几里得空间的映射（变形）。曲面是关于两个参数$u$和$v$的矢值函数，它表示由$uv$平面上的二维区域$R$到三维欧几里得空间的映射。因此，它可以表示为$\text{S}(u,v)=\left(x(u,v),y(u,v),z(u,v)\right),(u,v)\in R$的形式。有很多表示曲面的形式，它们的区别在于所采用的坐标函数或区域$R$的类型不同。或许最简单，也是在几何造型中应用最广泛的一种形式是张量积曲面。

张量积方法基本上是在两个方向上均采用曲线的处理方式。它也采用基函数和对应的几何系数的乘积之和的形式表示曲面。基函数是$u$和$v$的二元函数，它由关于$u$的一元基函数和关于$v$的一元基函数的乘积来构造。几何系数（在拓扑上）被安排成两个方向的$n\times m$的网格。因此，张量积曲面具有如下形式：
$\mathbf{S}(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))=\sum _{i=0}^n\sum _{j=0}^m{f}_i(u)g_j(v){\mathbf{b}}_{i,j}(1.20)$
其中
$\{\begin{array}{l}{\mathbf{b}}_{i,j}=(x_{i,j},y_{i,j},z_{i,j})\\ \\ 0⩽u,v⩽1\end{array}$

注意在张量积曲面的映射中，$(u,v)$平面上的区域是正方形（更一般的是矩形）。另外还可以注意到$S(u,v)$具有如下的矩阵形式：
$\mathbf{S}(u,v)=[f_i(u){]}^{\text{T}}[{\mathbf{b}}_{i,j}\left]\right[g_j(v)]$
其中，$[f_i(u){]}^{\text{T}}$是$1\times (n+1)$行向量，$\left]\right[g_j(v)]$是$(m+1)\times 1$列向量，$\left[{\mathbf{b}}_{i,j}\right]$是由三维空间中的点组成的$(n+1)\times (m+1)$矩阵。

作为一个例子，我们来考虑幂基曲面
$\mathbf{S}(u,v)=\sum _{i=0}^n\sum _{j=0}^m{\mathbf{a}}_{i,j}{u}^i{v}^j={\left[{\mathbf{u}}^i\right]}^T\left[{\mathbf{a}}_{i,j}\right]\left[{\mathbf{v}}^j\right]\{\begin{array}{c}{\mathbf{a}}_{ij}=({\mathbf{x}}_{i,j},{\mathbf{y}}_{i,j},{\mathbf{z}}_{i,j})\\ 0⩽\mathbf{u},\mathbf{v}⩽1\end{array}(1.21)$
这里，我们有$f_i(u)=u^i,g_j(v)=v^j$，曲面的基函数是它们的乘积$\{u^i{v}^j\}$。如果固定$u=u_0$，那么
${\mathbf{C}}_{u_0}\left(\begin{array}{c}v\end{array}\right)=\mathbf{S}({\mathbf{u}}_0,v)=\sum _{j=0}^m\left(\sum _{i=0}^n{\mathbf{a}}_{i,j}{u}_0^i\right)v^j=\sum _{j=0}^m{\mathbf{b}}_j(u_0)v^j(1.22)$
是位于曲面$S(u,v)$上的幂基曲线，其中
${\mathbf{b}}_j(u_0)=\sum _{i=0}^n{\mathbf{a}}_{i,j}{u}_0^i$

类似地，${\mathbf{C}}_{v_0}\left(\begin{array}{c}u\end{array}\right)$也是曲面$S(u,v)$上的幂基曲线；曲线${\mathbf{C}}_{u_0}\left(\begin{array}{c}v\end{array}\right)$和${\mathbf{C}}_{v_0}\left(\begin{array}{c}u\end{array}\right)$交于曲面上的点$S(u_0,v_0)$。这些曲线称为等参数线（isoparametric curve 或 isocurve），${\mathbf{C}}_{u_0}\left(\begin{array}{c}v\end{array}\right)$称为$v$方向的等参数线（或$v$参数线），${\mathbf{C}}_{v_0}\left(\begin{array}{c}u\end{array}\right)$称为$u$方向的等参数线（或$u$参数线）。

（1.21）式可以写成如下形式
$\begin{array}{rl}\mathbf{S}(u,v)& =\underset{b_0}{\{{\mathbf{a}}_{0,0}+{\mathbf{a}}_{0,1}v+{\mathbf{a}}_{0,2}{v}^2+\cdots +\mathbf{a}0,m{v}^m\}}\\ & +u\underset{{\mathbf{b}}_1}{\{{\mathbf{a}}_{1,0}+{\mathbf{a}}_{1,1}v+{\mathbf{a}}_{1,2}{v}^2+\cdots +{\mathbf{a}}_{1,m}{v}^m\}}\\ & +u^2\underset{{\mathbf{b}}_2}{\{{\mathbf{a}}_{2,0}+{\mathbf{a}}_{2,1}v+{\mathbf{a}}_{2,2}{v}^2+\cdots +{\mathbf{a}}_{2,m}{v}^m\}}\\ & \\ & +u^n\underset{p_n}{\{{\mathbf{a}}_{n,0}+{\mathbf{a}}_{n,1}v+{\mathbf{a}}_{n,2}{v}^2+\cdots +{\mathbf{a}}_{n,m}{v}^m\}}\\ & ={\text{b}}_0+{\text{b}}_{1}u+{\text{b}}_2{u}^2+\cdots +{\text{b}}_n{u}^n\end{array}$
上式中大括号内的项是简单的多项式，可以通过Horner算法来计算，得到$b_0,b_1,\dots ,b_n$。再次对$b_0,b_1,\dots ,b_n$应用Horner算法，就可以得到曲面上的点。

张量积曲面的典型算法通常可由曲线的算法推广而来，其一般过程是：先沿着一个方向运用曲线的算法对张量积曲面系数的每一行（或列）（将其看作曲线的系数）进行处理，然后再沿着另一个方向对所得结果的每一列（或行）进行处理。

对（1.21）式求偏导，得
${\mathbf{S}}_u\left(\begin{array}{c}u,v\end{array}\right)=\sum _{i=1}^n\sum _{j=0}^{m}i{\mathbf{a}}_{i,j}{u}^{i-1}{v}^j$，${\mathbf{S}}_v(u,v)=\sum _{i=0}^n\sum _{j=1}^{m}j{\mathbf{a}}_{i,j}{u}^i{v}^{j-1}$
注意：对于固定的$(u_0,v_0)$，${\mathbf{S}}_u\left(\begin{array}{c}{u}_0,v_0\end{array}\right)={\mathbf{C}}_{v_0}^{\prime }\left(\begin{array}{c}{u}_0\end{array}\right)$，${\mathbf{S}}_v\left(\begin{array}{c}{u}_0,v_0\end{array}\right)={\mathbf{C}}_{u_0}^{\prime }\left(\begin{array}{c}{v}_0\end{array}\right)$，单位法矢$N$可由$N=\frac{{\mathbf{S}}_u\times {\mathbf{S}}_v}{\mid {\mathbf{S}}_u\times {\mathbf{S}}_v\mid }$式计算。

非有理Bezier曲面可由两个方向的控制点网格和一元Bernstein多项式的乘积定义
$\begin{array}{r}\mathbf{S}(u,v)=\sum _{i=0}^n\sum _{j=0}^m{B}_{i,n}(u)B_{j,m}(v){\mathbf{P}}_{i,j},0⩽u,v⩽1(1.23)\end{array}$

对于固定的$u=u_0$，有
$\begin{array}{rlr}{\mathbf{C}}_{u_0}\left(v\right)& =\mathbf{S}({\mathbf{u}}_0,v)=\sum _{i=0}^n\sum _{j=0}^m{B}_{i,n}({\mathbf{u}}_0)B_{j,m}(v){\mathbf{P}}_{i,j}& \\ & =\sum _{j=0}^m{B}_{j,m}(v)(\sum _{i=0}^n{B}_{i,n}(u_0){\text{P}}_{i,j})=\sum _{j=0}^m{B}_{j,m}(v){\text{Q}}_j(u_0)& (1.24)\end{array}$
是一条位于曲面$S(u,v)$上的Bezier曲线（曲面$v$方向的等参数线），其中，$Q_i(u_0)=\sum _{i=0}^n{B}_{i,n}(u_0){\mathbf{P}}_{i,j},j=0,1,\cdots ,m$。类似地，${\mathbf{C}}_{v_0}\left(\begin{array}{c}u\end{array}\right)=\mathbf{S}(u,v_0)={\sum }_{i=0}^n{B}_{i,n}(u){\mathbf{Q}}_i(v_0)$是曲面$u$方向的等参数线（也是Bezier曲线）。

和曲线的情形类似，由于Bezier曲面具有很多优良的性质，因而和幂基曲面相比更适合于几何造型中的应用。尤其是，Bezier曲面及其基函数具有一下性质：

• 非负性：$B_{i,n}(u)B_{j,m}(v)⩾0$，对于所有的$i,j,u,v$；
• 规范性：$\sum _{i=0}^n\sum _{j=0}^n{B}_{i,n}(u)B_{j,m}(v)=1$，对所有的$u,v$；
• 凸包性：$S(u,v)$包含在它的控制点的凸包内；
• 几何不变性和仿射不变性；
• 端点插值性：曲面插值于控制网格的4个角点；
• 逼近性：将控制点网格三角化后，得到曲面的一个平面多边形逼近。
  注意，一个有趣的现象是是：对Bezier曲面来讲，不存在变差减少性。

很容易将deCastcljau算法推广用来计算Bezier曲面上的点。令$(u_0,v_0)$固定，对于固定的$j_0$，$Q_{j_0}={\sum }_{i=0}^n{B}_{i,n}(u_0){\mathbf{P}}_{i,j_0}$可通过对第$j_0$行控制点$\{P_{i,j_0}\}$，$i=0,1,\dots ,n$，应用deCasteljau算法得到。因而，应用deCasteljau算法$m+1$次即可得到$C_{u_0}(v_0)=S(u_0,v_0)$。这个过程需要执行$\frac{n(n+1)(m+1)}{2}+\frac{m(m+1)}{2}(1.25)$次线性插值运算。当然，我们也可以先计算$C_{v_0}(u)$；（应用deCasteljau算法$n+1$次）然后再计算${\mathbf{C}}_{v_0}\left(\begin{array}{c}{u}_0\end{array}\right)=\mathbf{S}(u_0,v_0)$，这需要执行$\frac{n(m+1)(n+1)}{2}+\frac{n(n+1)}{2}(1.26)$次线性插值运算。因此，当$n>m$时，先计算$C_{v_0}(u)$在计算$C_{v_0}(u_0)$；否则，先计算$C_{u_0}(v)$，再计算$C_{u_0}(v_0)$。

定义有理Bezier曲面为四维多项式Bezier曲面
$\begin{array}{rl}{\mathbf{S}}^w(u,v)=\sum _{i=0}^n\sum _{j=0}^m{B}_{i,n}(u)B_{j,m}(v){\mathbf{P}}_{i,j}^w& (1.27)\end{array}$的透视投影，即
$\begin{array}{r}\text{S}(u,v)=H\{{\mathbf{S}}^w(\mathbf{u},\mathbf{v})\}=\frac{\sum _{i=0}^n\sum _{j=0}^m{B}_{i,n}(\mathbf{u})B_{j,m}(\mathbf{v})w_{i,j}{\mathbf{P}}_{i,j}}{\sum _{i=0}^n\sum _{j=0}^m{B}_{i,n}(\mathbf{u})B_{j,m}(\mathbf{v})w_{i,j}}=\sum _{i=0}^n\sum _{j=0}^m{R}_{i,j}(\mathbf{u},\mathbf{v}){\mathbf{P}}_{i,j}\end{array}(1.28)$
其中
$R_{i,j}(u,v)=\frac{B_{i,n}(u)B_{j,m}(v)w_{i,j}}{\sum _{r=0}^n\sum _{s=0}^m{B}_{r,n}(u)B_{s,m}(v)w_{r,s}}$

注意$R_{i,j}(u,v)$是有理函数，但它们不是关于$u$和$v$的基函数的乘积。因此，$S(u,v)$不是张量积曲面，但$S^w(u,v)$是张量积曲面。和曲线类似，一般利用（1.27）式进行计算，通过投影得到最后的结果。

假定对所有的$i,j$有$w_{i,j}>0$，则前面所列的非有理Bezier曲面（及其基函数$B_{i,n}(u)B_{j,m}(v)$）的性质可以自然地推广到有理Bezier曲面。而且，当$w_{i,j}=1$对所有的$i,j$成立时，有$R_{i,j}(u,v)=B_{i,n}(u)B_{j,m}(v)$，这时对应的曲面为非有理的Bezier曲面。