【复变函数笔记】傅里叶变换和拉普拉斯变换

一、傅里叶变换和拉普拉斯变换的定义

1. 傅里叶积分

傅里叶积分定理 若$f(t)$在$(-\infty ,+\infty )$上满足下列条件：
(1) $f(t)$在任一有限区间上满足狄利克雷条件（连续或只有有限个第一类间断点；只有有限个极值点）；
(2) $f(t)$在无限区间$(-\infty ,+\infty )$上绝对可积（即积分${\int }_{-\infty }^{+\infty }|f(t)|\mathrm{d}t$收敛），则有$$f(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }\left[{\int }_{-\infty }^{+\infty }f(\tau )e^{-i\omega \tau }\mathrm{d}\tau \right]e^{i\omega t}\mathrm{d}\omega$$成立，而左端的$f(t)$在其间断点处应以$\frac{f(t+0)+f(t-0)}{2}$（左右极限平均值）代替。

2. 傅里叶变换

傅里叶变换：若$f(t)$在$(-\infty ,+\infty )$上满足傅里叶积分的条件，则称函数$$F(\omega )=\mathcal{F}[f(t)]={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(t)e^{-i\omega t}\mathrm{d}t$$为$f(t)$的傅里叶变换；而称函数$$f(t)={\mathcal{F}}^{-1}[F(\omega )]=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }F(\omega )e^{i\omega t}\mathrm{d}\omega$$为$F(\omega )$的傅里叶逆变换。

3. 单位脉冲函数和单位阶跃函数

单位脉冲函数：$$\delta (t)=\{\begin{array}{ll}+\infty ,& t=0\\ 0,& t\ne 0\end{array}$$这是一个不严谨的表述，严谨的表述需要用到弱极限。该函数满足$${\int }_{-\infty }^{+\infty }\delta (t)\mathrm{d}t=1$$若$f(t)$为无穷次可微的函数，则有$${\int }_{-\infty }^{+\infty }\delta (t)f(t)\mathrm{d}t=f(0)$$$\delta (t)$是偶函数，满足$\delta (at)=\frac{1}{|a|}\delta (t)$（$a\ne 0$），且$${\int }_{-\infty }^{+\infty }{\delta }^{(n)}(t-t_0)f(t)\mathrm{d}t={(-1)}^n{f}^{(n)}(t_0)$$（这个用分部积分证明）。特别地，$${\int }_{-\infty }^{+\infty }{\delta }^{\prime }(t)f(t)\mathrm{d}t=-f^{\prime }(0)$$

单位阶跃函数：$$u(t)=\{\begin{array}{ll}1,& t>0\\ 0,& t<0\end{array}$$满足$$\begin{gathered} {\int }_{-\infty }^t\delta (\tau )\mathrm{d}\tau =u(t) \\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}u(t)=\delta (t) \end{gathered}$$

4. 拉普拉斯变换

拉普拉斯变换：设函数$f(t)$在$t\ge 0$时有定义，且积分${\int }_0^{+\infty }f(t)e^{-st}\mathrm{d}t$在复平面$s$的某一区域内收敛，则称$$F(s)=\mathcal{L}[f(t)]={\int }_0^{+\infty }f(t)e^{-st}\mathrm{d}t$$为$f(t)$的拉普拉斯变换（或称为象函数），称$f(t)$为$F(s)$的拉普拉斯逆变换（或称为象原函数），记为$$f(t)={\mathcal{L}}^{-1}[F(s)]$$若令$s=\beta +i\omega$，则$\mathcal{L}[f(t)]=\mathcal{F}[f(t)u(t)e^{-\beta t}]$。这就是拉普拉斯变换和傅里叶变换的关系。

拉普拉斯变换的存在定理 若函数$f(t)$满足下列条件：
(1) 在$t\ge 0$的任一有限区间上连续或分段连续；
(2) 当$t\to +\infty$时，$f(t)$的增长速度不超过某一指数函数，即存在$M>0$和$c\ge 0$使得$$|f(t)|\le M{e}^{ct},\forall t\in [0,+\infty )$$则$f(t)$的拉普拉斯变换$F(s)={\int }_0^{+\infty }f(t)e^{-st}\mathrm{d}t$在半平面$\mathrm{Re}(s)>c$上一定存在，右端的积分在$\mathrm{Re}(s)\ge c_1>c$上绝对收敛而且一致收敛，并且在$\mathrm{Re}(s)>c$的半平面内，$F(s)$为解析函数。$c$称为$f(t)$的增长指数。

二、常见函数的傅里叶变换和拉普拉斯变换

象原函数$f(t)$	傅里叶变换	拉普拉斯变换
$1$	$2\pi \delta (\omega )$	-
$\delta (t)$	$1$	$1$
$u(t)$	$\frac{1}{i\omega }+\pi \delta (\omega )$	$\frac{1}{s}$
$t^n$	$2\pi i^n{\delta }^{(n)}(\omega )$	$\frac{\Gamma (n+1)}{s^{(n+1)}}(n>-1)$（当$n$为整数时为$\frac{n!}{s^{n+1}}$）
$\cos {\omega }_{0}t$	$\pi [\delta (\omega +{\omega }_0)+\delta (\omega -{\omega }_0)]$	$\frac{s}{s^2+{\omega }_0^2}$（要求${\omega }_0\in \mathbb{R}$）
$\sin {\omega }_{0}t$	$i\pi [\delta (\omega +{\omega }_0)-\delta (\omega -{\omega }_0)]$	$\frac{{\omega }_0}{s^2+{\omega }_0^2}$（要求${\omega }_0\in \mathbb{R}$）
$e^{-\beta t}u(t)$	$\frac{1}{\beta +i\omega }(\beta >0)$	$\frac{1}{s+\beta }$

三、傅里叶变换和拉普拉斯变换的性质

令$F(\omega )=\mathcal{F}[f(t)]$，$F(s)=\mathcal{L}[f(t)]$。

性质	傅里叶变换	拉普拉斯变换
线性性质	$\mathcal{F}[a{f}_1(t)+b{f}_2(t)]=a\mathcal{F}[f_1(t)]+b\mathcal{F}[f_2(t)]$	$\mathcal{L}[a{f}_1(t)+b{f}_2(t)]=a\mathcal{L}[f_1(t)]+b\mathcal{L}[f_2(t)]$
相似性质	$\mathcal{F}[f(at)]=\frac{1}{|a|}F\left(\frac{\omega }{a}\right)$	$\mathcal{L}[f(at)]=\frac{1}{a}F\left(\frac{s}{a}\right)$（$a>0$）
对称性质	$\mathcal{F}[F(\omega )]=2\pi f(-t)$
微分性质	$\mathcal{F}[f^{\prime }(t)]=i\omega \mathcal{F}[f(t)]$ $\mathcal{F}[f^{(n)}(t)]={(i\omega )}^n\mathcal{F}[f(t)]$	$\mathcal{L}[f^{\prime }(t)]=sF(s)-f(0)$ $\mathcal{L}[f^{(n)}(t)]=s^{n}F(s)-s^{n-1}f(0)-\cdots -f^{(n-1)}(0)$
象函数的微分性质	$\mathcal{F}[tf(t)]=i{F}^{\prime }(\omega )$ $\mathcal{F}[t^{n}f(t)]=i^n{F}^{(n)}(\omega )$	$\mathcal{L}[tf(t)]=-F^{\prime }(s)$ $\mathcal{L}[t^{n}f(t)]={(-1)}^n{F}^{(n)}(s)$
位移性质	$\mathcal{F}[f(t+t_0)]=e^{i\omega t_0}\mathcal{F}[f(t)]$	$\mathcal{L}[f(t+t_0)]=e^{s{t}_0}\mathcal{L}[f(t)]$（要求$t_0<0$）
象函数的位移性质	$\mathcal{F}[e^{i{\omega }_{0}t}f(t)]=F(\omega -{\omega }_0)$	$\mathcal{L}[e^{at}f(t)]=F(s-a)$（要求$\mathrm{Re}(s-a)>s_0$，其中$s_0$是$f(t)$的增长指数）
积分性质	$\mathcal{F}\left[{\int }_{-\infty }^{t}f(\tau )\mathrm{d}\tau \right]=\frac{1}{i\omega }F(\omega )+\pi F(0)\delta (\omega )$	$\mathcal{L}[{\int }_0^{t}f(\tau )\mathrm{d}\tau ]=\frac{1}{s}F(s)$
象函数的积分性质		$\mathcal{L}\left[\frac{f(t)}{t}\right]={\int }_s^{\infty }F(s)\mathrm{d}s$
卷积定理	$\mathcal{F}[f_1(t)\ast f_2(t)]=\mathcal{F}[f_1(t)]\cdot \mathcal{F}[f_2(t)]$ $\mathcal{F}[f_1(t)\cdot f_2(t)]=\frac{1}{2\pi }\mathcal{F}[f_1(t)]\ast \mathcal{F}[f_2(t)]$	$\mathcal{L}[f_1(t)\ast f_2(t)]=\mathcal{L}[f_1(t)]\cdot \mathcal{L}[f_2(t)]$
乘积定理	令$F_1(\omega )=\mathcal{F}[f_1(t)]$，$F_2(\omega )=\mathcal{F}[f_2(t)]$，则 ${\int }_{-\infty }^{+\infty }\overline{f_1(t)}{f}_2(t)\mathrm{d}t=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }\overline{F_1(\omega )}{F}_2(\omega )\mathrm{d}\omega$ ${\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_1(t)\overline{f_2(t)}\mathrm{d}t=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }{F}_1(\omega )\overline{F_2(\omega )}\mathrm{d}\omega$
能量积分	帕西瓦尔等式： ${\int }_{-\infty }^{+\infty }{[f(t)]}^2\mathrm{d}t=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }{|F(\omega )|}^2\mathrm{d}\omega$
初值定理		$f(0)=\underset{s\to \infty }{\lim }sF(s)$（若这个7极限存在）
终值定理		$\underset{t\to +\infty }{\lim }f(t)=\underset{s\to 0}{\lim }sF(s)$ （要求$sF(s)$的所有奇点都在$s$平面的左半部）

四、拉普拉斯逆变换

由于$F(s)=\mathcal{L}[f(t)]=\mathcal{F}[f(t)u(t)e^{-\beta t}]$（$s=\beta +i\omega$），我们有$$\begin{gathered} \frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }F(\beta +i\omega )e^{i\omega t}\mathrm{d}\omega =f(t)u(t)e^{-\beta t} \\ f(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }F(\beta +i\omega )e^{(\beta +i\omega )t}\mathrm{d}\omega \end{gathered}$$注意到$\mathrm{d}s=i\mathrm{d}\omega$，我们把积分写出复变函数的积分：$$f(t)=\frac{1}{2\pi i}{\int }_{\beta -i\infty }^{\beta +i\infty }F(s)e^{st}\mathrm{d}s$$下面我们通过留数来计算这个积分。

定理 设$s_1,s_2,\cdots ,s_l$是$F(s)$的所有孤立奇点（有限个），除这些点外，$F(s)$处处解析。且存在$R_0>0$，使得当$|s|>R_0$时，$|F(s)|\le M(r)$，其中$M(r)$是$r$的实函数，满足$\underset{r\to +\infty }{\lim }M(r)=0$（即当$s\to \infty$时，$F(s)\to 0$）。选取$\beta$，使所有孤立奇点的实部都小于$\beta$，则当$t>0$时，$$f(t)=\frac{1}{2\pi i}{\int }_{\beta -i\infty }^{\beta +i\infty }F(s)e^{st}\mathrm{d}s=\sum _{k=1}^l\mathrm{Res}[F(s)e^{st},s_k]$$