代码随想录算法训练营第四十八天|198.打家劫舍、213.打家劫舍II、337.打家劫舍 III

198.打家劫舍

当前房屋偷与不偷取决于 前一个房屋和前两个房屋是否被偷了。

所以这里就更感觉到，当前状态和前面状态会有一种依赖关系，那么这种依赖关系都是动规的递推公式。

动规五部曲分析如下：

1. 确定dp数组以及下标的含义
   dp[i]：考虑下标i（包括i）以内的房屋，最多可以偷窃的金额为dp[i]。

2. 确定递推公式
   决定dp[i]的因素就是第i房间偷还是不偷。

   如果偷第i房间，那么dp[i] = dp[i - 2] + nums[i] ，即：第i-1房一定是不考虑的，找出 下标i-2（包括i-2）以内的房屋，最多可以偷窃的金额为dp[i-2] 加上第i房间偷到的钱。

   如果不偷第i房间，那么dp[i] = dp[i - 1]，即考虑i-1房，（注意这里是考虑，并不是一定要偷i-1房）

   然后dp[i]取最大值，即dp[i] = max(dp[i - 2] + nums[i], dp[i - 1]);

3. dp数组如何初始化
   从递推公式dp[i] = max(dp[i - 2] + nums[i], dp[i - 1]);可以看出，递推公式的基础就是dp[0] 和 dp[1]

   从dp[i]的定义上来讲，dp[0] 一定是 nums[0]，dp[1]就是nums[0]和nums[1]的最大值即：dp[1] = max(nums[0], nums[1]);

4. 确定遍历顺序
   dp[i] 是根据dp[i - 2] 和 dp[i - 1] 推导出来的，那么一定是从前到后遍历！

5. 举例推导dp数组
   以示例二，输入[2,7,9,3,1]为例。
   

class Solution {
public:
    int rob(vector<int>& nums) {
        if (nums.size() == 0) return 0;
        if (nums.size() == 1) return nums[0];
        vector<int> dp(nums.size());
        dp[0] = nums[0];
        dp[1] = max(nums[0], nums[1]);
        for (int i = 2; i < nums.size(); i++) {
            dp[i] = max(dp[i - 2] + nums[i], dp[i - 1]); //考虑偷不偷第i间屋子
        }
        return dp[nums.size() - 1];
    }
};

213.打家劫舍II

对于一个数组，成环的话主要有如下三种情况：

情况一：考虑不包含首尾元素

情况二：考虑包含首元素，不包含尾元素

情况三：考虑包含尾元素，不包含首元素

注意这里用的是“考虑”，例如情况三，虽然是考虑包含尾元素，但不一定要选尾部元素！ 对于情况三，取nums[1] 和 nums[3]就是最大的。

而情况二 和 情况三 都包含了情况一了，所以只考虑情况二和情况三就可以了。

剩下的具体实现就是和上一题一样了，只不过需要个辅助函数来将数组掐头或者去尾。

class Solution {
public:
    int rob(vector<int>& nums) {
        if(nums.size() == 1) return nums[0];
        int result1 = robRange(nums, 0, nums.size() - 2);
        int result2 = robRange(nums, 1, nums.size() - 1);
        return max(result1, result2);
    }
    int robRange(vector<int>& nums, int start, int end) {
        if (start == end) return nums[start];
        vector<int> dp(nums.size());
        dp[start] = nums[start];
        dp[start + 1] = max(nums[start], nums[start + 1]);
        for (int i = start + 2; i <= end; i++) {
            dp[i] = max(dp[i - 2] + nums[i], dp[i - 1]);
        }
        return dp[end];
    }
};

337.打家劫舍 III

第一次开始树形动规，采用后序遍历，因为通过递归函数的返回值来做下一步计算。

而动态规划其实就是使用状态转移容器来记录状态的变化，这里可以使用一个长度为2的数组，记录当前节点偷与不偷所得到的的最大金钱。

这道题目算是树形dp的入门题目，因为是在树上进行状态转移，以二叉树递归三部曲为框架，其中融合动规五部曲的内容来进行。

1. 确定递归函数的参数和返回值
   这里我们要求一个节点 偷与不偷的两个状态所得到的金钱，那么返回值就是一个长度为2的数组。
   参数为当前节点，dp数组以及下标的含义：下标为0记录不偷该节点所得到的的最大金钱，下标为1记录偷该节点所得到的的最大金钱。

2. 确定终止条件
   在遍历的过程中，如果遇到空节点的话，无论偷还是不偷都是0，所以就返回{0, 0}，也相当于dp数组的初始化

3. 确定遍历顺序
   首先明确的是使用后序遍历。 因为通过递归函数的返回值来做下一步计算。

   通过递归左节点，得到左节点偷与不偷的金钱。

   通过递归右节点，得到右节点偷与不偷的金钱。

4. 确定单层递归的逻辑
   如果是偷当前节点，那么左右孩子就不能偷，val1 = cur->val + left[0] + right[0];

   如果不偷当前节点，那么左右孩子就可以偷，至于到底偷不偷一定是选一个最大的，所以：val2 = max(left[0], left[1]) + max(right[0], right[1]);

   最后当前节点的状态就是{val2, val1}; 即：{不偷当前节点得到的最大金钱，偷当前节点得到的最大金钱}

class Solution {
public:
    int rob(TreeNode* root) {
        vector<int> result = robTree(root);
        return max(result[0], result[1]);
    }
	// 长度为2的数组，0：不偷，1：偷
    vector<int> robTree(TreeNode* cur) {
        if (cur == nullptr) {
            return vector<int> {0, 0};
        }
        vector<int> left = robTree(cur->left);
        vector<int> right = robTree(cur->right);

        int val1 = cur->val + left[0] + right[0]; //偷父节点
        int val2 = max(left[0], left[1]) + max(right[0], right[1]); //不偷父节点，考虑透孩子节点，也就是说孩子节点也可以不偷，取大值

        return {val2, val1};
    }
};