蓝桥杯-回路计数(状态压缩、动态规划)

题目描述

蓝桥学院由 21 21 21 栋教学楼组成,教学楼编号 11 11 11​​ 到 21 21 21​​。对于两栋教学楼 a a a b b b​,当 a a a b b b互质时, a a a b b b之间有一条走廊直接相连,两个方向皆可通行,否则没有直接连接的走廊。

小蓝现在在第一栋教学楼,他想要访问每栋教学楼正好一次,最终回到第一栋教学楼(即走一条哈密尔顿回路),请问他有多少种不同的访问方案?

两个访问方案不同是指存在某个 i i i,小蓝在两个访问方法中访问完教学楼 i i i后访问了不同的教学楼。

提示:建议使用计算机编程解决问题。

答案提交

这是一道结果填空的题,你只需要算出结果后提交即可。本题的结果为一个整数,在提交答案时只填写这个整数,填写多余的内容将无法得分。

运行限制

最大运行时间:1s
最大运行内存: 128M

思路和参考代码

本题可以使用动态规划的方法解决。

我们用 1 , 2 , . . . , 21 1,2,...,21 1,2,...,21表示某1栋楼,设全集 A = { 1 , 2 , . . . , 21 } A = \{1,2,...,21\} A={1,2,...,21}。设状态 S V ,   l S_{V,\ l} SV, l表示访问了子集 V V V中的全部路径(每个点均只访问1次)且最后一次落点在 l l l处的可行解的个数,其中 V ⊆ A V \subseteq A VA l ∈ V l \in V lV。即有动态规划方程
S V ,   l = ∑ a ∈ V 且 a , l 互质 S V − { l } ,   a S { 1 } ,   1 = 1 S_{V,\ l} = \sum_{a\in V且a,l互质} S_{V- \{l\},\ a} \\S_{\{1\},\ 1 }= 1 SV, l=aVa,l互质SV{l}, aS{1}, 1=1

最终的答案为 ∑ i = 2 21 S A ,   i \sum_{i=2}^{21}{S_{A,\ i}} i=221SA, i。由于只有21栋楼,因此在实现时路径集合 V V V只需要使用位集压缩在1个int变量中,如经过了完整的21栋楼,经过的路径为0x1fffff

完整实现如下:

public class Main {
    static boolean[][] isConnected = new boolean[22][22];
    static final int MAXN = 0x1fffff;
    static long[][] counts = new long[MAXN + 1][22];

    static void init() {
        for (int i = 1; i <= 21; i++) {
            for (int j = i + 1; j <= 21; j++) {
                boolean flag = false;
                for (int k = 2; k <= i; k++) {
                    if (i % k == 0 && j % k == 0) {
                        flag = true;
                        break;
                    }
                }
                if (!flag) {
                    isConnected[i][j] = isConnected[j][i] = true;
                }
            }
        }
    }

    static void debug() {
        for (int i = 1; i <= 21; i++) {
            for (int j = i + 1; j <= 21; j++) {
                if (isConnected[i][j])
                    System.out.printf("%d %d\n", i, j);
            }
        }
    }

    static void dp() {
        counts[1][1] = 1;
        for (int i = 1; i <= MAXN; i++) {
            for (int j = 1; j <= 21; j++) {
                if (((i >> (j - 1)) & 1) == 0)
                    continue;
                for (int k = 1; k <= 21; k++) {
                    if (((1 << (k - 1)) & i) != 0 || !isConnected[j][k])
                        continue;
                    counts[i | (1 << (k - 1))][k] += counts[i][j];
                }
            }
        }
    }

    static void printAnswer() {
        long cnt = 0;
        for (int i = 1; i <= 21; i++) {
            if (isConnected[i][1])
                cnt += counts[MAXN][i];
        }
        System.out.println(cnt);
    }

    public static void main(String[] args) {
        init();
//        debug();
        dp();
        printAnswer();
    }
}

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