定积分的性质习题

前置知识:定积分的一些性质

习题1

计算 ∫ − 2 2 ( x cos ⁡ x 1 + x 2 + 4 − x 2 ) d x \int_{-2}^2(\dfrac{x\cos x}{1+x^2}+\sqrt{4-x^2})dx 22(1+x2xcosx+4x2 )dx

解:
\qquad 因为 f ( x ) = x cos ⁡ x 1 + x 2 f(x)=\dfrac{x\cos x}{1+x^2} f(x)=1+x2xcosx是奇函数

\qquad 所以 ∫ − 2 2 x cos ⁡ x 1 + x 2 d x = 0 \int_{-2}^2\dfrac{x\cos x}{1+x^2}dx=0 221+x2xcosxdx=0

\qquad 原式 = ∫ − 2 2 ( 0 + 4 − x 2 ) d x = ∫ − 2 2 4 − x 2 d x = 2 π =\int_{-2}^2(0+\sqrt{4-x^2})dx=\int_{-2}^2\sqrt{4-x^2}dx=2\pi =22(0+4x2 )dx=224x2 dx=2π


习题2

已知 f f f [ 0 , 4 ] [0,4] [0,4]上的值为 f ( x ) = ∣ x − 2 ∣ f(x)=|x-2| f(x)=x2∣,且 f f f是以 4 4 4为周期的函数,求 ∫ 3 7 f ( x ) d x \int_3^7f(x)dx 37f(x)dx

解:
\qquad 因为 f f f是以 4 4 4为周期的函数

\qquad 所以原式 = ∫ 0 4 f ( x ) d x = ∫ 0 2 ( 2 − x ) d x + ∫ 2 4 ( x − 2 ) d x = 2 + 2 = 4 =\int_0^4f(x)dx=\int_0^2(2-x)dx+\int_2^4(x-2)dx=2+2=4 =04f(x)dx=02(2x)dx+24(x2)dx=2+2=4

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