定积分的性质习题

前置知识：定积分的一些性质

习题1

计算${\int }_{-2}^2(\frac{x\cos x}{1+x^2}+\sqrt{4-x^2})dx$

解：
\qquad 因为$f(x)=\frac{x\cos x}{1+x^2}$是奇函数

\qquad 所以${\int }_{-2}^2\frac{x\cos x}{1+x^2}dx=0$

\qquad 原式$={\int }_{-2}^2(0+\sqrt{4-x^2})dx={\int }_{-2}^2\sqrt{4-x^2}dx=2\pi$

习题2

已知$f$在$[0,4]$上的值为$f(x)=|x-2|$，且$f$是以$4$为周期的函数，求${\int }_3^{7}f(x)dx$

解：
\qquad 因为$f$是以$4$为周期的函数

\qquad 所以原式$={\int }_0^{4}f(x)dx={\int }_0^2(2-x)dx+{\int }_2^4(x-2)dx=2+2=4$