@黄敏 （2020年3月30日）
听小鹅说，上午在做一道关于烤箱温度的题目，她把自个关在屋里折腾了半天，出来的时候颇有成就感，说算出来了，是160。爸爸听了反复追问她：“160度是什么单位？摄氏度还是华氏度？”她挺肯定地说：“160华氏度。" 我喊她先来跳操，再帮我一起做饭。
备菜的时候，我随口问她，知道摄氏度和华氏度换算的公式吗？她说知道，前两天推导过，然后报出来给我听，华氏度=摄氏度×9/5+32. 我其实没怎么用过这个换算公式，只知道9/5的比例关系，至于是＋32，还是减32，记得并不确切。不过我从英语书上知道人发烧的时候，大概是100华氏度以上。就用35摄氏度来近似算一下，35×9/5+32=95，差不离，这就对了。所以，公式可能会背错，但记住几个和生活相关的典型数值，不但能帮助我们找回公式，还让公式变得有血有肉，而不是冷冰冰的数字。
依我看，小鹅爸的问题，设个未知数，代入公式，解方程不就完了？可是小鹅显然还不够清晰代数式、函数的意义，以及通过列方程求未知数的解题思路。于是我举了个生活中简单的例子：”我如果再吃一个烧饼，就是爸爸的两倍，你说我们各吃了几个烧饼呢？“
“可能你们各吃了一个，也可能你吃了3个，爸爸吃了两个。”
对于具体数量之间的关系，小鹅反应得很快，可以一直列举下去：“这一组都可以，只要你比爸爸吃的烧饼的两倍少一个就行。”
“那如果知道爸爸吃了几个，你能用一个公式来算出来妈妈吃了几个吗？”
“可以啊，y=2x-1。你是y，爸爸是x。”
我看小鹅讲得很清楚，忍不住又给她总结一句：“所以代数式或者公式是表示变化关系的。”
（如果我随口举的例子是y=3x-1，我也许就可以类比前面的问题，我吃的烧饼是爸爸的两倍，请问我跟各吃了几个？当然，这个数字太简单，她试一试也就出来了，可能还是没法导向设未知数去列方程求解。）
于是我们回到摄氏度和华氏度换算的公式：华氏度=摄氏度×9/5+32，现在知道华氏度是摄氏度的两倍，就是2x = 9/5x+32, 小鹅想把等式两边都除以2，可是没法求解，她一边摘豆角，一边想象这个等式，试了一下就说：”想象不出来，得写在纸上看。“
于是我们约好吃完饭后，再和小鹅继续讨论。（非常感谢小鹅爸的大度和信任，把这个学习的机会让给了我。）
午饭后，我靠着床头，正准备懒懒地看会书呢，小鹅洗完碗主动来找我，我就过去看了看她之前的解答(图中解答①) 。
她一开始列下的比例式我就没看懂：
10×x + 18×x = 1:2，这是比例式吗？我问她x是什么？她说不是什么温度，就是一个倍数。
我再次问她华氏度和摄氏度是什么关系？她说9:5。我问：是刚好9:5吗？她说不是，还有个32，但二者比值就是9:5。我晕，看来“带常数项” 的比例关系会造成认知冲突（基线不同），就先按下不表。
【解法①】
不过下面的列表我倒是看明白了。她列举了一组摄氏度对应的华氏度，从摄氏20度开始，每增加10度，对应的华氏度=1.8×摄氏度+32。套公式求具体数值没问题了，她要找两个温度值之间的关系，就去算了二者的差，因为题目中华氏温度是摄氏温度的两倍，她又算了一个所谓“两倍差”——华氏温度减去摄氏温度的两倍，这个名称用得是否恰当，且不说。
接下来她发现摄氏温度每升高10度，“两倍差”的数值就减小2。什么时候两倍差达到0，华氏温度自然就是摄氏温度的两倍了。于是她写了右边的式子：50+22÷2×10 =160，就算出了160这个结果。
我很惊叹于她踏踏实实去探究两个温度变化的规律。说实话，当她把对应的这些温度值列下来，我对华氏温度的理解，就不只是一个抽象的换算公式了。具体数字是看得见摸得着的，孩子在进入代数之前，需要不断去借助具体的数来感知数量关系。
只是我不明白她想得这么复杂了，怎么还把结果160硬塞到华氏度名下。我问她算的是哪一列结果，她看着×10，终于反应过来，是第一列摄氏温度的结果。再次说明概念还没清晰建立之前，容易想当然，她需要回到具体数值才能有所感知和判断。
反应过来后，她很快又根据第二栏的数字，算了对应的华氏温度，果然是320，160的两倍。
【解法②】
我们再回过头来看她在列表的上方写下的比例式，这回我看明白了，就问她：你写的是不是10× x ：18× x = 1:2？她把比号写成了＋，还浑然不觉。
于是我们再看这个比例式成立吗？她想表达的是摄氏温度乘以10，华氏温度对应乘以18（比值1.8），什么时候二者是1:2? 可是这个比例式的左边是10x:18x = 10:18(我写成分数给她看), 明显比1/2大呀！问题出在哪里呢？
我们回头看左边这两列数据，觉得挺有意思：摄氏温度和华氏温度并不是1：1.8的关系，一开始接近1:3，随着温度升高，比值接近1:2，最后才趋于1:1.8, 这正是由于基线不同，除开一次项系数1.8，还附加了常数项的影响。（常数项、一次项这些概念我没跟她讲。）
在我的提醒下，小鹅终于想到了基线不同，把基线值加上后，写了解法②。
【解法③】
最后她想起备菜的时候，我们曾聊过代数式/公式就是一个关系式: 把摄氏温度设为x，对应的华氏温度就是2x，代入到单位换算公式里，通过解方程，求出摄氏温度是160度。
三种方法，看起来解方程最便捷，但是往往用公式化的计算遮盖了背后的数量变化规律。而现实生活中，函数关系式，要么是人为给定的，要么是通过数据分析近似总结的。既然小鹅对抽象的公式还有些犯迷糊，我们就不妨时常回到数据分析、找规律上。
经由这个过程，我们对函数、对方程的理解是不是也会更深刻一些？
【后记】
到了晚饭的时候，爸爸开玩笑说，明天要再给小鹅一道题——烤另外一种点心，所需温度，用华氏度表示，是摄氏度的3倍，请问烤箱温度要设成几度？
小鹅刚听了个开头，知道爸爸又要出题，”闻弦歌而知雅意“，就开始和爸爸插科打诨，把话题扯到了谁要做点心给谁吃。我接过话头，夸张地哀叹说：”华氏度是摄氏度的3倍！这点心会不会烤糊了？“
小鹅见我质疑题目编得不合理，来了点兴趣，安静下来想。我回想起她画的表格，以及中午的讨论，又觉得不对：”哎呀，会不会烤不熟？“
她瞥眼看我，酷酷地说：“装傻是不是老师的必备技能？”