线性调频Z变换 CZT

• 线性调频Z变换（chirp Z-transform）

【1. 原理】

1.1 公式推导

• Z 变换公式：
  $$X(z)=\sum _{n=0}^{N-1}x(n)z^{-n}$$
• 令 $z=z_k=A{W}^{-k}=\left(A_0{e}^{j{\theta }_0}\right){\left(W_0{e}^{-j{\phi }_0}\right)}^{-k}=\left(A_0{e}^{j{\theta }_0}\right)\left(W_0^{-k}{e}^{j{\phi }_{0}k}\right),k=0,\mathrm{1...},M-1$，M代表欲分析的频谱的点数，M不一定等于N。代入上式化简，得到 CZT 变换公式 ：
  $$\begin{array}{rl}CZT(z_k)& =\sum _{n=0}^{N-1}x(n)z_k^{-n}\\ & =\sum _{n=0}^{N-1}x(n)(A{W}^{-k}{)}^{-n}\\ & =\sum _{n=0}^{N-1}x(n)\left(A_0^{-n}{e}^{-j{\theta }_{0}n}\right)\left(W_0^{nk}{e}^{-j{\phi }_{0}nk}\right),k=0,\mathrm{1...},M-1\end{array}$$
  其中，$z_k=A{W}^{-k}$，$A=A_0{e}^{j{\theta }_0}$，$W=W_0{e}^{-j{\phi }_0}$，
  ${z}_k=A{W}^{-k}=A_0{W}_0^{-k}{e}^{j({\theta }_0+k{\phi }_0)}$，
  $$\begin{gathered} {z}_0=A_0{e}^{j{\theta }_0}, \\ {z}_1=A_0{W}_0^{-1}{e}^{j({\theta }_0+{\phi }_0)} \end{gathered}$$
  $z_2=A_0{W}_0^{-2}{e}^{j({\theta }_0+2{\phi }_0)}$
  $\cdots$
  $z_{M-1}=A_0{W}_0^{-(M-1)}{e}^{j[{\theta }_0+(M-1){\phi }_0]}$

1.2 $z_k$ 所在的路径

• $A=A_0{e}^{j{\theta }_0}$ 为起始点位置。
  $A_0$ ：起始点半径，通常 $A_0\le 1$，表示在圆内，$A_0=1$ 表示在单位圆上。
  ${\theta }_0$：起始点相位角，可正可负。
• $z_k=A_0{W}_0^{-k}{e}^{j({\theta }_0+k{\phi }_0)}$ 是 z 平面一段螺线上的等分角上某一采样点。
  $W_0$：螺线的伸展率。
  $W_0>1$：随 k 的增加螺旋线向内盘旋。
  $W_0<1$：随 k 的增加螺旋线向外盘旋。
  $W_0=1$：对应半径为 $A_0$ 的一段圆弧，若又有 $A_0=1$， 则这段圆弧是单位圆的一部分。
• ${\phi }_0$ 是两相邻点之间的角频率差。
  ${\phi }_0<0$：表示 $z_k$ 的路径是顺时针旋转。
  ${\phi }_0>0$：表示 $z_k$ 的路径是逆时针旋转。

1.3 CZT的特点

• 输入序列长N及输出序列长M不需要相等。
• N及M不必是高度合成数，二者均可为素数。
• $z_k$ 的角间隔是任意的，频率分辨率也是任意的。
• 围线不必是z平面.上的圆，在语音分析中螺旋围线具有某些优点。
• 起始点 $z_0$ 可任意选定，因此可以从任意频率上开始对输入数据进行窄带高分辨率的分析。
• CZT 是一个一般化的DFT：若 A=1,M=N，可用CZT来计算DFT，即使N为素数时也可以。

【2. CZT的实现步骤】

2.1 线性卷积

• 利用 Bluestein 等式 $nk=\frac{1}{2}[n^2+k^2-(k-n{)}^2]$，代入CZT公式，得：
  $$\begin{array}{rl}CZT(z_k)& =\sum _{n=0}^{N-1}x(n)A^{-n}{W}^{nk}\\ & =\sum _{n=0}^{N-1}x(n)A^{-n}{W}^{\frac{n^2}{2}}{W}^{\frac{k^2}{2}}{W}^{-\frac{(k-n{)}^2}{2}}\\ & =W^{\frac{k^2}{2}}\sum _{n=0}^{N-1}\{[x(n)A^{-n}{W}^{\frac{n^2}{2}}]W^{-\frac{(k-n{)}^2}{2}}\},k=0,\mathrm{1...},M-1\end{array}$$
• 令 $g(n)=x(n)A^{-n}{W}^{\frac{n^2}{2}},0\le n\le N-1，h(n)=W^{-\frac{n^2}{2}}$，代入上式，得到：
  $$CZT(z_k)=W^{\frac{k^2}{2}}\sum _{n=0}^{N-1}g(n)h(k-n),k=0,\mathrm{1...},M-1$$
• 在上式中，${\sum }_{n=0}^{N-1}g(n)h(k-n)$是线性卷积，故上式可理解为：
  $$CZT(z_k)=W^{\frac{k^2}{2}}g(k)\ast h(k),k=0,\mathrm{1...},M-1$$
• 综上所述，CZT 的计算过程可化简为 ：
  
  即：让 x(n) 乘 $A^{-n}{W}^{\frac{n^2}{2}}$ 成为 g(n) ，g(n) 再与 $h(n)=W^{-\frac{n^2}{2}}$ 进行线性卷积，卷积的结果再与 $W^{\frac{k^2}{2}}$ 相乘，得到最终CZT变换的结果。

2.2 循环卷积

• 将线性卷积用循环圆卷积进行计算，从而可以变换到频域用FFT进行快速运算。下面为CZT的实现流程图。
  
• 选择一个最小数 L，使其满足 $L\ge N+M-1$，同时又满足 $L=2^m$。
• 将 $g(n)$ 尾补零变成列长为L的序列
  $$g(n)=\{\begin{array}{ll}{A}^{-n}{W}^{\frac{n^2}{2}}x(n)& 0\le n\le N-1\\ 0& N\le n\le L-1\end{array}$$
• 求 $g(n)$ 的 FFT
  $$G(r)=\sum _{n=0}^{L-1}g(n)e^{-j\frac{2\pi }{L}nr}，0\le r\le L-1$$
• $h(n)$ 补零加长，周期延拓成L点的序列
  $$h(n)=\{\begin{array}{cc}{W}^{-\frac{n^2}{2}}& 0\le n\le M-1\\ 0& M\le n\le L-N\\ W^{-\frac{(L-n{)}^2}{2}}& L-N+1\le n\le L-1\end{array}$$
• 求 $h(n)$ 的 FFT
  $$H(r)=\sum _{n=0}^{L-1}h(n)e^{-j\frac{2\pi }{L}nr}，0\le r\le L-1$$
• 求 $G(r)$ 与 $H(r)$ 的乘积 $Q(r)$ ， $Q(r)$为 L 点频域离散序列。
  $$Q(r)=G(r)\cdot H(r)，0\le r\le L-1$$
• 求 $Q(r)$ 的 IFFT
  $$q(r)=IDFT[Q(r)]，0\le r\le L-1$$
• 取 $q(r)$ 的前M个点得到 q(k)，最后求出 $X(z_k)$
  $$X(z_k)=W^{\frac{k^2}{2}}\cdot q(k)，0\le k\le M-1$$

【3. CZT的应用】

3.1 通过 CZT 变换求 DFT

• 当满足如下条件时，$z_k$ 均匀分布在单位圆上，可由 CZT：$X(z_k)={\sum }_{n=0}^{N-1}x(n)\left(A_0^{-n}{e}^{-j{\theta }_{0}n}\right)\left(W_0^{nk}{e}^{-j{\phi }_{0}nk}\right),k=0,\mathrm{1...},M-1$，进一步求 DFT：$X(k)={\sum }_{n=0}^{N-1}x(n)e^{-j2\pi \frac{kn}{N}},k=0,1,\mathrm{2...}N-1$。
  1、$M=N$
  2、$A=A_0{e}^{j{\theta }_0}=1⟹A_0=1，{\theta }_0=0^{\circ }$
  3、$W=W_0{e}^{-j{\phi }_0}=e^{-j\frac{2\pi }{N}}⟹W_0=1,{\phi }_0=\frac{2\pi }{N}$
• 如果取$A_0=1$，${\theta }_0$为任意值，则所求的DFT是一段任意频率范围的频谱，也就是单位圆上某一段的频谱。这与直接计算DFT求整个频率范围的频谱是不一样的，即使调整N的大小，例如增加N，也只是增加了一段频率范围的计算量而已。

3.2 对信号的频谱进行细化分析

• 其中对窄带信号频谱或对部分感兴趣的频谱进行细化分析。 $z_k$ 必须在z平面的单位圆上，$A_0=1$，$W_0=1$，即：
  $$z_k=A_0{W}_0^{-k}{e}^{j({\theta }_0+k{\phi }_0)}=e^{j({\theta }_0+k{\phi }_0)}$$
  ${\theta }_0$ 由感兴趣的起始频率决定。
  ${\phi }_0$ 由频率分辨率决定。
  M 由 ${\phi }_0$ 和频率采样的范围决定。

3.3 求解Z变换X(z)的零、极点

• 用于语音信号处理过程中。
• 利用不同半径同心圆，进行等间隔采样，令 $W_0=1$，${\theta }_0=0$，${\phi }_0=\frac{2\pi }{N}$，改变 $A_0$，计算
  $$20\lg |X(z_k)|=20\lg |X(r{e}^{j\omega }){|}_{\omega =\frac{2\pi }{N}k},k=0,1,...N-1$$
  其中，$20\lg |X(r{e}^{jw})|（dB）$的峰值决定 X(z) 的极点，谷值决定零点。

3.4 使用CZT进行Keystone变换

• 当满足以下条件：
  1、$M=N$
  2、$A=A_0{e}^{j{\theta }_0}=1⟹A_0=1,{\theta }_0=0°$
  3、$W=W_0{e}^{-j{\phi }_0}=e^{-j\frac{f_0+f}{f_0}\frac{2\pi }{M}}⟹W_0=1,{\phi }_0=\frac{f_0+f}{f_0}\frac{2\pi }{M}$
  然后按照CZT的计算步骤进行计算。使用此方法可以大大减小Keystone变换的计算量。

【4.相关文献】

线性调频Z变换
Keystone学习笔记(5)——Keystone变换的实现方法